米尔斯定理

米尔斯 (1947) 证明了存在一个实常数 使得

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对于所有整数 都是素数，其中 是向下取整函数。然而，米尔斯 (1947) 并没有确定 ，甚至没有给出 的范围。

Ellison 和 Ellison (1985) 在练习中给出了米尔斯定理到任意正整数序列的推广。

使得对于所有整数 ， 都是素数的最小 被称为米尔斯常数。

米尔斯的证明基于 Hoheisel (1930) 和 Ingham (1937) 的以下定理。设 为第 个素数，则存在一个常数 使得

(2)

对于所有 。最近，这个结果被加强为

(3)

(Mozzochi 1986)。如果黎曼猜想为真，那么 Cramér (1937) 证明了

(4)

(Finch 2003)。

Hardy 和 Wright (1979) 以及 Ribenboim (1996) 指出，尽管这些素数公式很漂亮，但它们没有任何实际意义。事实上，除非已知 的确切值，否则必须事先知道素数本身才能确定 。