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卢卡斯定理

卢卡斯定理指出，如果 n>=3 是一个无平方因子整数，且 Phi_n(z) 是一个分圆多项式，则

Phi_n(z)=U_n^2(z)-(-1)^((n-1)/2)nzV_n^2(z),
(1)

其中 U_n(z) 和 V_n(z) 是次数分别为 phi(n)/2 和 phi(n)/2-1 的整系数多项式。这个恒等式可以表示为

{Phi_n((-1)^((n-1)/2)z)=C_n^2(z)-nzD_n^2(z) for n odd; Phi_(n/2)(-z^2)=C_n^2(z)-nzD_n^2(z) n=4k+2; -Phi_1(-z^2)=C_2^2(z)-2zD_2^2(z) for n=2,
(2)

其中 C_n(z) 和 D_n(z) 是对称多项式。下表给出了前几个 C_n(z) 和 D_n(z)s （Riesel 1994, pp. 443-456）。

nC_n(z)D_n(z)
2z+11
3z+11
5z^2+3z+1z+1
6z^2+3z+1z+1
7z^3+3z^2+3z+1z^2+z+1
10z^4+5z^3+7z^2+5z+1z^3+2z^2+2z+1

另请参阅

分圆多项式, 高斯分圆公式

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参考文献

Brent, R. P. "On Computing Factors of Cyclotomic Polynomials." Math. Comput. 61, 131-149, 1993.Kraitchik, M. Recherches sue la théorie des nombres, tome I. Paris: Gauthier-Villars, pp. 126-128, 1924.Riesel, H. “分圆多项式的卢卡斯公式。” 在 素数与计算机分解方法，第 2 版 结尾的表格中。Boston, MA: Birkhäuser, pp. 443-456, 1994.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

卢卡斯定理

引用为

Weisstein, Eric W. “卢卡斯定理。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LucassTheorem.html

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