主题
Search

高斯分圆公式

设 p>3 为一个素数，则

4(x^p-y^p)/(x-y)=R^2(x,y)-(-1)^((p-1)/2)pS^2(x,y),

其中 R(x,y) 和 S(x,y) 是关于 x 和 y 的齐次多项式，其 系数 为整数。高斯 (1965, p. 467) 给出了至多 p=23 的 R 和 S 的系数。

Kraitchik (1924) 将高斯公式推广到奇无平方数整数 n>3。那么高斯公式可以写成稍微简单的形式

4Phi_n(z)=A_n^2(z)-(-1)^((n-1)/2)nz^2B_n^2(z),

其中 A_n(z) 和 B_n(z) 具有整数系数，并且分别是 phi(n)/2 和 phi(n)/2-2 度，其中 phi(n) 是欧拉函数，Phi_n(z) 是一个分圆多项式。此外，如果 n 是偶数，则 A_n(z) 是对称的；否则它是反对称的。在大多数情况下，B_n(z) 是对称的，但如果 n 是 形如 4k+3，则它是反对称的 (Riesel 1994, p. 436)。下表给出了前几个 A_n(z) 和 B_n(z) (Riesel 1994, pp. 436-442)。

nA_n(z)B_n(z)
52z^2+z+21
72z^3+z^2-z-2z+1
112z^5+z^4-2z^3+2z^2-z-2z^3+1

另请参阅

Aurifeuillean 分解, 分圆多项式, 卢卡斯定理

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

高斯, C. F. §356-357 in 高等算术研究。 纽约: Chelsea, pp. 425-428 和 467, 1965.Kraitchik, M. 数论研究，第一卷。 巴黎: Gauthier-Villars, pp. 93-129, 1924.Kraitchik, M. 数论研究，第二卷。 巴黎: Gauthier-Villars, pp. 1-5, 1929.Riesel, H. "分圆多项式的高斯公式。" 在 素数与因子分解的计算机方法，第二版。 波士顿, MA: Birkhäuser, pp. 436-442, 1994.

在 Wolfram|Alpha 上引用

高斯分圆公式

请引用为

Weisstein, Eric W. "高斯分圆公式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GausssCyclotomicFormula.html

学科分类