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拉普拉斯极限

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KapteynLemon

设 z=re^(itheta)=x+iy 为一个 复数，则不等式

|(zexp(sqrt(1-z^2)))/(1+sqrt(1-z^2))|<=1
(1)

在上面图示的透镜形区域内成立。用实变量显式地表示，可以写成

1+lambda+sqrt(2(1+lambda-x^2+y^2))>exp[sqrt(2(1+lambda-x^2+y^2))],
(2)

其中

lambda=sqrt([(1-x)^2+y^2][(1+x)^2+y^2]).
(3)

封闭区域的面积大约为

A approx 1.85298
(4)

(OEIS A140133)。

这个区域可以用变量 u 参数化表示为

r^2=(2u)/(sinh(2u))
(5)
sin^2theta=sinhu(ucoshu-sinhu).
(6)

用笛卡尔坐标参数化表示为，

x(u)=sqrt(u(cothu-u))
(7)
y(u)=sqrt(u(u-tanhu)).
(8)

这个区域与贝塞尔函数和卡普坦级数的研究密切相关 (Plummer 1960, p. 47; Watson 1966, p. 270)。

u 在 u^*=1.19967874... 处达到最大值 (OEIS A085984; Goursat 1959, p. 120; Le Lionnais 1983, p. 36)，该最大值由以下方程的根给出

cothu=u,
(9)

或等价地由以下方程的根给出

e^x(x-1)=e^(-x)(x+1),
(10)

正如斯蒂尔切斯指出的那样。

LaplaceLimit

对应于最大值 u^* 的最小值 r 是 r^*=0.6627434... (OEIS A033259; Plummer 1960, p. 47; Watson 1966, p. 270)，这被称为拉普拉斯极限常数。这正是拉普拉斯公式求解开普勒方程开始发散的点，由方程 f(x)=1 的唯一实数解 e 给出，对于

f(x)=(xexp(sqrt(1+x^2)))/(1+sqrt(1+x^2)).
(11)

e 的连分数由 [0, 1, 1, 1, 27, 1, 1, 1, 8, 2, 154, ...] 给出 (OEIS A033260)。 n 在 e 的连分数中首次出现的位置是 2, 10, 35, 13, 15, 32, 101, 9, ... (OEIS A033261)。 连分数中增量最大的项是 1, 27, 154, 1601, 2135, ... (OEIS A033262)，它们出现在位置 2, 5, 11, 19, 1801, ... (OEIS A033263)。

另请参阅

偏近点角, 开普勒方程

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参考文献

Finch, S. R. "数学常数。" §4.8 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 266-268, 2003.Goursat, E. 数学分析教程，第 2 卷：复变量函数与微分方程。 New York: Dover, p. 120, 1959.Le Lionnais, F. 卓越数。 Paris: Hermann, p. 36, 1983.Leibovici, C. "拉普拉斯极限常数是否存在闭合形式：x 使得 xe^(sqrt(x^2+1))/(sqrt(x^2+1)+1) 使用库函数？。" Mar. 12, 2022. https://math.stackexchange.com/questions/4393448/is-there-a-closed-form-of-the-laplace-limit-constant-x-such-that-fracxe.Moulton, F. R. "二体问题。" Ch. V in 天体力学导论，第二版。 New York: MacMillan, 1914.Plummer, H. 动力天文学入门专著。 New York: Dover, 1960.Sloane, N. J. A. Sequences A033259, A033260, A033261, A033262, A033263, A085984, and A140133 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, G. N. 贝塞尔函数理论专著，第二版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

请引用为

Eric W. Weisstein "拉普拉斯极限。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/LaplaceLimit.html

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