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Kuen 曲面

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KuenSurface

Kuen 曲面是 Enneper 负曲率曲面的一个特例，可以用参数形式表示为

x=(2(cosu+usinu)sinv)/(1+u^2sin^2v)
(1)
=(2sqrt(1+u^2)cos(u-tan^(-1)u)sinv)/(1+u^2sin^2v)
(2)
y=(2(sinu-ucosu)sinv)/(1+u^2sin^2v)
(3)
=(2sqrt(1+u^2)sin(u-tan^(-1)u)sinv)/(1+u^2sin^2v)
(4)
z=ln[tan(1/2v)]+(2cosv)/(1+u^2sin^2v)
(5)

对于 v in [0,pi), u in [0,2pi) (Reckziegel 等人 1986; Gray 等人 2006, p. 484)。

Kuen 曲面出现在《La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española》第 2 卷第 1 期 (1999) 的封面上。

第一基本形式的系数是

E=(16u^2sin^2v)/([2+u^2-u^2cos^2(2v)]^2)
(6)
F=0
(7)
G=csc^2v-(16u^2sin^2v)/([2+u^2-u^2cos^2(2v)]^2),
(8)

第二基本形式的系数是

e=-(4u[2-u^2+u^2cos^2(2v)]sinv)/([2+u^2-u^2cos^2(2v)]^2)
(9)
f=0
(10)
g=(4u[2-u^2+u^2cos^2(2v)]cscv)/([2+u^2-u^2cos^2(2v)]^2),
(11)

且面积元素是

dS=(4u[2-u^2+u^2cos(2v)])/([2+u^2-u^2cos^2(2v)]^2).
(12)

高斯曲率和平均曲率是

K=-1
(13)
H=-(cscv)/(4u)+1/4usinv[1+8/(2-u^2+u^2cos(2v))],
(14)

因此，Kuen 曲面具有恒定的负 高斯曲率，且主曲率是

kappa_1=(4usinv)/(2-u^2+u^2cos(2v))
(15)
kappa_2=-([2-u^2+u^2cos(2v)]cscv)/(4u)
(16)

(Gray 1997, p. 496)。

另请参阅

Enneper 负曲率曲面

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参考文献

Cover of La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 2, 1999.Fischer, G. (Ed.). Plate 86 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 82, 1986.Gray, A.; Abbena, E.; and Salamon, S. "Kuen's Surface as Bianchi Transform of the Pseudosphere." §21.7 In Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 3rd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 484 and 704-706, 2006.JavaView. "Classic Surfaces from Differential Geometry: Kuen." http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/surface/common/PaSurface_Kuen.html.Kuen, T. "Ueber Flächen von constantem Krümmungsmass." Sitzungsber. d. königl. Bayer. Akad. Wiss. Math.-phys. Classe, Heft II, 193-206, 1884.Nordstrand, T. "Kuen's Surface." http://jalape.no/math/kuentxt.Reckziegel, H. "Kuen's Surface." §3.4.4.2 in Mathematical Models from the Collections of Universities and Museums (Ed. G. Fischer). Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 38, 1986.

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Weisstein, Eric W. "Kuen 曲面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KuenSurface.html

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