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克拉特塔尔矩阵求逆公式

设 (a)_i 和 (b)_i 为复数序列，使得 b_j!=b_k 对于 j!=k，并设 下三角矩阵 F=(f)_(nk) 和 G=(g)_(nk) 定义为

f_(nk)=(product_(j=k)^(n-1)(a_j+b_k))/(product_(j=k+1)^(n)(b_j-b_k))

和

g_(nk)=(a_k+b_k)/(a_n+b_n)(product_(j=k+1)^(n)(a_j+b_n))/(product_(j=k)^(n-1)(b_j-b_n)),

其中空集的乘积定义为 1。那么 F 和 G 是 矩阵的逆 (Bhatnagar 1995, pp. 16-17)。

当 b_k=k 时，此结果简化为 Gould 和 Hsu 矩阵求逆公式，当 b_k=q^k 时，简化为 Carlitz 的 q-模拟，当 b_k=q^(-k)+aq^k 和 a_k=-(aq^(-j)/b)-bq^j 时，特化为 Bressoud 的矩阵定理 (Bressoud 1983) (Bhatnagar 1995, p. 17)。

该公式还可以扩展到一个求和定理，该定理推广了 Gosper 的双基和 (Gasper 和 Rahman 1990, p. 240; Bhatnagar 1995, p. 19)。

另请参阅

Bailey 变换, Gould 和 Hsu 矩阵求逆公式

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参考文献

Bhatnagar, G. Inverse Relations, Generalized Bibasic Series, and their U(n) Extensions. 博士论文. Ohio State University, 1995. http://www.math.ohio-state.edu/~milne/papers/Gaurav.whole.thesis.7.4.ps.Bressoud, D. M. "A Matrix Inverse." Proc. Amer. Math. Soc. 88, 446-448, 1983.Carlitz, L. "Some Inverse Relations." Duke Math. J. 40, 893-901, 1972.Gasper, G. and Rahman, M. Basic Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Krattenthaler, C. "Operator Methods and Lagrange Inversions: A Unified Approach to Lagrange Formulas." Trans. Amer. Math. Soc. 305, 431-465, 1988.Riordan, J. Combinatorial Identities. New York: Wiley, 1979.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

克拉特塔尔矩阵求逆公式

请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "Krattenthaler Matrix Inversion Formula." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KrattenthalerMatrixInversionFormula.html

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