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反 Gudermannian 函数

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反函数 Gudermannian y=gd^(-1)phi 给出 墨卡托投影 中纵向位置 y，以 纬度 phi 表示，并且可以定义为 0<=x<pi/2

gd^(-1)(x)=int_0^xsectdt
(1)
=2tanh^(-1)[tan(1/2x)]
(2)
=1/2ln((1+sinx)/(1-sinx))
(3)
=ln[tan(1/4pi+1/2x)]
(4)
=ln(secx+tanx).
(5)

反 Gudermannian 函数在 Wolfram 语言 中实现为InverseGudermannian[z].

其导数由下式给出

d/(dx)gd^(-1)(x)=secx.
(6)

它具有 麦克劳林级数

gd^(-1)(x)=x+1/6x^3+1/(24)x^5+(61)/(5040)x^7+(277)/(72576)x^9+...
(7)

(OEIS A091912 和 A136606)。

另请参阅

Gudermannian 函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Beyer, W. H. “Gudermannian 函数。” CRC 标准数学表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 164, 1987。Sloane, N. J. A. 序列 A091912 和 A136606，出自“整数序列在线百科全书”。Zwillinger, D. (Ed.). “Gudermannian 函数。” §6.9，出自CRC 标准数学表和公式，第 31 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 530-532, 1995。

在 Wolfram|Alpha 中引用

反 Gudermannian 函数

请引用为

Weisstein, Eric W. “反 Gudermannian 函数。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InverseGudermannian.html

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