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双曲面嵌入

一个 4-双曲面具有负曲率，其中

R^2=x^2+y^2+z^2-w^2
(1)
2x(dx)/(dw)+2y(dy)/(dw)+2z(dz)/(dw)-2w=0.
(2)

由于

r=xx^^+yy^^+zz^^,
(3)

因此

dw=(xdx+ydy+zdz)/w=(r·dr)/(sqrt(r^2-R^2)).
(4)

为了保持在双曲面的表面上，线元由下式给出

ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-dw^2
(5)
=dx^2+dy^2+dz^2-(r^2dr^2)/(r^2-R^2)
(6)
=dr^2+r^2dOmega^2+(dr^2)/(1-(R^2)/(r^2)).
(7)

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引用为

Weisstein, Eric W. “双曲面嵌入。” 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/HyperboloidEmbedding.html

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