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希尔行列式

在 二阶常微分方程 的解中出现的 行列式

x^2(d^2psi)/(dx^2)+x(dpsi)/(dx)+(1/4h^2x^2+1/2h^2-b+(h^2)/(4x^2))psi=0.
(1)

将解写成 幂级数

psi=sum_(n=-infty)^inftya_nx^(s+2n)
(2)

得到一个 递推关系

h^2a_(n+1)+[2h^2-4b+16(n+1/2s)^2]a_n+h^2a_(n-1)=0.
(3)

s 的值可以使用希尔行列式计算

Delta(s)=|... | | | | ...; ... ((sigma+2)-alpha^2)/(4-alpha^2) (beta^2)/(4-alpha^2) 0 0 ...; ... 0 -(beta^2)/(alpha^2) -(sigma^2-alpha^2)/(alpha^2) -(beta^2)/(alpha^2) ...; ... 0 0 -(beta^2)/(1-alpha^2) ((sigma-1)^2-alpha^2)/(1-alpha^2) ...; ... | | | | ...|,
(4)

其中

sigma=1/2s
(5)
alpha^2=1/4b-1/8h^2
(6)
beta=1/4h,
(7)

和 sigma 是要求解的变量。该行列式可以通过惊人的公式显式地给出

Delta(s)=Delta(0)-(sin^2(pis/2))/(sin^2(1/2pisqrt(b-1/2h^2))),
(8)

其中

Delta(0)=|... | | | | ...; ... 1 (h^2)/(144+2h^2-4b) 0 0 ...; ... (h^2)/(64+2h^2-4b) 1 (h^2)/(64+2h^2-4b) 0 ...; ... 0 (h^2)/(16+2h^2-4b) 1 (h^2)/(16+2h^2-4b) ...; ... 0 0 (h^2)/(2h^2-4b) 1 ...; ... 0 0 0 (h^2)/(16+2h^2-4b) ...; ... | | | | ...|,
(9)

从而得到 s 的隐式方程，

sin^2(1/2pis)=Delta(0)sin^2(1/2pisqrt(b-1/2h^2)).
(10)

另请参阅

希尔微分方程

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Hill, G. W. "On the Part of the Motion of Lunar Perigee Which is a Function of the Mean Motions of the Sum and Moon." Acta Math. 8, 1-36, 1886.Magnus, W. and Winkler, S. 希尔方程. New York: Dover, 1979.Morse, P. M. and Feshbach, H. 理论物理方法，第一部分. New York: McGraw-Hill, pp. 555-562, 1953.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

希尔行列式

请引用为

Weisstein, Eric W. “希尔行列式。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HillDeterminant.html

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