群直和

群直和是指序列 的群 是由所有序列 组成的集合，其中每个 是 的元素，并且 等于 单位元 ，除了有限索引集 之外的所有索引。 它被记为

(1)

并且它是一个群，关于从群 的运算导出的分量运算。

这个定义可以很容易地扩展到任何群的集合 ，其中 是任何有限或无限索引集。

如果去掉关于单位元的附加条件，我们就得到群直积的定义。因此，当索引集是有限的时候，这两个概念是一致的。因此，对于任何群 和 ,

(2)

表示相同的对象。

如果 和 是同一个加法群 的子群，等式

(3)

通常意味着每个 都有一个唯一的分解 ，其中 和 ，因此 本质上与所有有序对 的集合相同。