基本单位

设为具有个实嵌入和个虚嵌入的数域，并设。则的单位的乘法群具有以下形式

$U_K={zeta_K^(e_0)epsilon_1^(e_1)epsilon_2^(e_2)...epsilon_r^(e_r):e_i in Z},$

(1)

其中是本原次单位根，对于最大，使得中存在本原次单位根。每当是二次域时，（除非，在这种情况下，或者，在这种情况下）。因此，同构于群。个生成元，对于，被称为的基本单位。实二次数域和虚三次数域只有一个基本单位，而虚二次数域没有基本单位。观察到是的挠子群的阶，并且的确定取决于 -基的变化以及乘以单位根的倍数。

数域的基本单位与调节器密切相关。

由代数数生成的域的基本单位可以在 Wolfram 语言中使用以下命令计算NumberFieldFundamentalUnits[a]。

在实二次域中，存在一个特殊的单位，称为基本单位，使得所有单位由给出，对于、、、.... 符号有时用于代替 (Zucker and Robertson 1976)。实二次域的基本单位可以从佩尔方程的基本解计算得出

(2)

其中符号的选择使得解具有最小的可能正 (LeVeque 1977; Cohn 1980, p. 101; Hua 1982; Borwein and Borwein 1987, p. 294)。如果取正号，则一个解简单地由给出，其中是佩尔方程的解

(3)

然而，这不一定是最小解。例如，佩尔方程的解

(4)

是，因此，但是最小解。

对于非平方正整数，最小的 s 由 2, 4, 1, 10, 16, 2, 6, 20, 4, 3, 30, 8, 8, 34, 340, 4, 5, ... (OEIS A048941) 给出，而最小的 s 由 2, 2, 1, 4, 6, 1, 2, 6, 1, 1, 8, 2, 2, 8, 78, 1, 1, 84, ... (OEIS A048942) 给出。给定一个最小的，基本单位由下式给出

(5)

(Cohn 1980, p. 101)。

下表给出了小的基本单位。


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下表给出了平方自由数，对于这些数，的分母是，对于或 2。这些序列与艾森斯坦问题相关：对于大的，没有已知的快速计算方法 (Finch)。

	OEIS	平方自由数，其中
1	A107997	5, 13, 21, 29, 53, 61, 69, 77, 85, 93, ...
2	A107998	2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 22, ...

另请参阅

佩尔方程, 实二次域, 调节器, 单位

此条目的部分内容由 Steven Finch 贡献

此条目的部分内容由 Loïc Grenié 贡献

此条目的部分内容由 David Terr 贡献

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更多尝试

参考文献

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Cohn, H. "Fundamental Units" and "Construction of Fundamental Units." §6.4 and 6.5 in Advanced Number Theory. New York: Dover, pp. 98-102, and 261-274, 1980.Finch, S. R. "Class Number Theory." http://algo.inria.fr/csolve/clss.pdf.Hua, L. K. Introduction to Number Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1982.Ireland, K. and Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 192, 1990.LeVeque, W. J. Fundamentals of Number Theory. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.Narkiewicz, W. Elementary and Analytic Number Theory of Algebraic Numbers. Warsaw: Polish Scientific Publishers, 1974.Sloane, N. J. A. Sequences A048941, A048942, A107997, and A107998 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stark, H. M. An Introduction to Number Theory. Cambridge, MA: MIT Press, 1994.Zucker, I. J. and Robertson, M. M. "Some Properties of Dirichlet

-Series." J. Phys. A: Math. Gen. 9, 1207-1214, 1976.

在 Wolfram|Alpha 上引用

基本单位

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Finch, Steven; Grenié, Loïc; Terr, David; 和 Weisstein, Eric W. "基本单位。" 出自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FundamentalUnit.html


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