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弗雷德霍姆第二类积分方程

一个 积分方程 形式如下

phi(x)=f(x)+lambdaint_(-infty)^inftyK(x,t)phi(t)dt
(1)
phi(x)=1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^infty(F(t)e^(-ixt)dt)/(1-sqrt(2pi)lambdaK(t)).
(2)

一般弗雷德霍姆第二类积分方程的解被称为积分方程诺伊曼级数。

具有可分离积分核的弗雷德霍姆第二类积分方程可以如下求解

phi(x)=f(x)+int_a^bK(x,t)phi(t)dt
(3)
=f(x)+lambdasum_(j=1)^(n)M_j(x)int_a^bN_j(t)phi(t)dt
(4)
=f(x)+lambdasum_(j=1)^(n)c_jM_j(x),
(5)

其中

c_j=int_a^bN_j(t)phi(t)dt.
(6)

现在将 (◇) 两边乘以 N_i(x)，并对 dx 进行积分。

int_a^bphi(x)N_i(x)dx=int_a^bf(x)N_i(x)dx+lambdasum_(j=1)^nc_jint_a^bM_j(x)N_i(x)dx.
(7)

根据 (◇)，第一项就是 c_i。现在定义

b_i=int_a^bN_i(x)f(x)dx
(8)
a_(ij)=int_a^bN_i(x)M_j(x)dx,
(9)

因此 (◇) 变为

c_i=b_i+lambdasum_(j=1)^na_(ij)c_j.
(10)

将其写成矩阵形式，

C=B+lambdaAC,
(11)

所以

(I-lambdaA)C=B
(12)
C=(I-lambdaA)^(-1)B.
(13)

另请参阅

弗雷德霍姆第一类积分方程, 积分方程, 积分方程诺伊曼级数, 沃尔泰拉第一类积分方程, 沃尔泰拉第二类积分方程

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参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, p. 865, 1985.Baker, C. T. H. The Numerical Treatment of Integral Equations. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 358-360, 1977.Pearson, C. E. Handbook of Applied Mathematics. New York: Van Nostrand, 1990.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Fredholm Equations of the Second Kind." §18.1 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 782-785, 1992.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

弗雷德霍姆第二类积分方程

请引用为

Weisstein, Eric W. "Fredholm Integral Equation of the Second Kind." 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FredholmIntegralEquationoftheSecondKind.html

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