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Floquet 分析

给定一个如下形式的常微分方程 组

d/(dt)[x; y; v_x; v_y]=-[0 0 -1 0; 0 0 0 -1; Phi_(xx)(t) Phi_(yx)(t) 0 0; Phi_(xy)(t) Phi_(yy)(t) 0 0][x; y; v_x; v_y]
(1)

其以 t 为周期，解可以写成如下形式函数的线性组合

[x(t); y(t); v_x(t); v_y(t)]=[x_0; y_0; v_(x0); v_(y0)]e^(mut)P_mu(t),
(2)

其中 P_mu(t) 是一个周期函数，其周期 T 与方程本身相同。给定一个如下形式的常微分方程

x^..+g(t)x=0,
(3)

其中 g(t) 是周期为 T 的周期函数，该 ODE 有一对独立的解，由 实部和虚部给出

x(t)=w(t)e^(ipsi(t))
(4)
x^.=(w^.+iwpsi^.)e^(ipsi)
(5)
x^..=[w^..+iw^.psi^.+i(w^.psi^.+wpsi^..+iwpsi^.^2)]e^(ipsi)
(6)
=[(w^..-wpsi^.^2)+i(2w^.psi^.+wpsi^..)]e^(ipsi).
(7)

将这些代入 (◇) 得到

w^..+2iw^.psi^.+w(g+ipsi^..-psi^.^2)=0,
(8)

所以实部和虚部是

w^..+w(g-psi^.^2)=0
(9)
2w^.psi^.+wpsi^..=0.
(10)

从 (◇) 中，

(2w^.)/w+(psi^..)/(psi^.)=2d/(dt)(lnw)+d/(dt)[ln(psi^.)]
(11)
=d/(dt)ln(psi^.w^2)
(12)
=0.
(13)

积分得到

psi^.=C/(w^2),
(14)

其中 C 是一个常数，其值必须等于 1，所以 psi 由下式给出

psi=int_(t_0)^t(dt)/(w^2).
(15)

那么实数解是

x(t)=w(t)cos[psi(t)],
(16)

所以

x^.=w^.cospsi-wpsi^.sinpsi
(17)
=w^.x/w-wpsi^.sinpsi
(18)
=w^.x/w-w1/(w^2)sinpsi
(19)
=w^.x/w-1/wsinpsi
(20)

并且

1=cos^2psi+sin^2psi
(21)
=x^2w^(-2)+[w(w^.x/w-x^.)]^2
(22)
=x^2w^(-2)+(w^.x-wx^.)^2
(23)
=I(x,x^.,t),
(24)

这是一个运动积分。因此，尽管 w(t) 没有明确给出，但积分 I 总是存在。将 (◇) 代入 (◇) 得到

w^..+g(t)w-1/(w^3)=0,
(25)

然而，这并不比 (◇) 更容易求解。

另请参阅

Floquet 定理, Hill 微分方程

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (编). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 727, 1972.Binney, J. and Tremaine, S. Galactic Dynamics. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 175, 1987.Lichtenberg, A. and Lieberman, M. Regular and Stochastic Motion. New York: Springer-Verlag, p. 32, 1983.Margenau, H. and Murphy, G. M. The Mathematics of Physics and Chemistry, 2 vols. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1956-64.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 556-557, 1953.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Floquet 分析

请引用为

Weisstein, Eric W. "Floquet 分析。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FloquetAnalysis.html

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