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Favard 常数

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设 T_n(x) 为任意三角多项式

T_n(x)=1/2a_0+{sum_(k=1)^n[a_kcos(kx)+b_ksin(kx)]}
(1)

具有实数系数，设 f 为在区间 [-pi,pi] 上可积的函数，并设 r 阶导数 f 在 [-1,1] 中有界。则存在一个多项式 T_n(x) 使得

|f(x)-T_n(x)|<=(K_r)/((n+1)^r),
(2)

对于所有 x in [-pi,pi]，其中 K_r 是可能的最小常数，称为第 r 阶 Favard 常数。

K_r 可以用以下求和式显式给出

K_r=4/pisum_(k=0)^infty[((-1)^k)/(2k+1)]^(r+1),
(3)

它可以根据 Lerch 超越函数 写成

K_r=(2^(1-r))/piPhi((-1)^(r+1),r+1,1/2).
(4)

这些可以表示为

K_r={4/pilambda(r+1) for r even; 4/pibeta(r+1) for r odd,
(5)

其中 lambda(x) 是 Dirichlet lambda 函数，而 beta(x) 是 Dirichlet beta 函数。 显式地，

K_0=1
(6)
K_1=1/2pi
(7)
K_2=1/8pi^2
(8)
K_3=1/(24)pi^3
(9)
K_4=5/(384)pi^4
(10)
K_5=1/(240)pi^5
(11)

(OEIS A050970 和 A050971)。

另请参阅

Dirichlet Beta 函数, Dirichlet Lambda 函数

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参考文献

Finch, S. R. "Achieser-Krein-Favard Constants." §4. 2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 255-257, 2003.Kolmogorov, A. N. "Zur Grössenordnung des Restgliedes Fourierscher reihen differenzierbarer Funktionen." Ann. Math. 36, 521-526, 1935.Sloane, N. J. A. Sequences A050970 and A050970 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Zygmund, A. G. Trigonometric Series, Vols. 1-2, 2nd ed. New York: Cambridge University Press, 1959.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Favard 常数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Favard Constants." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FavardConstants.html

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