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埃奇沃思级数

令要近似的分布为标准化和的分布 F_n

Y_n=(sum_(i=1)^(n)(X_i-X^_))/(sqrt(sum_(i=1)^(n)sigma_X^2)).
(1)

在夏利埃级数中，取分量随机变量，它们是同分布的，均值为 mu，方差为 sigma^2，以及更高的累积量 sigma^rlambda_r，对于 r>=3。此外，取发展函数 Psi(t) 为标准正态分布函数 Phi(t)，因此我们有

kappa_1-gamma_1=0
(2)
kappa_2-gamma_2=0
(3)
kappa_3-gamma_3=(lambda^r)/(n^(r/2-1)).
(4)

然后，埃奇沃思级数通过收集项获得特征函数的渐近展开，形式为

f_n(t)=[1+sum_(r=1)^infty(P_r(it))/(n^(r/2))]e^(-t^2/2),
(5)

其中 P_r 是一个 3r 次多项式，其系数取决于 3 阶到 r+2 阶的累积量。如果 Psi 的幂被解释为导数，则分布函数展开式由下式给出

F_n(x)=Psi(x)+sum_(r=1)^infty(P_r(-Phi(x)))/(n^(r/2))
(6)

(Wallace 1958)。这个展开式的前几项由下式给出

f(t)=Psi(t)-(lambda_3Psi^((3))(t))/(6sqrt(n)) +1/n[(lambda_4Psi^((4))(t))/(24)+(lambda_3^2Psi^((6))(t))/(72)]+....
(7)

Cramér (1928) 证明了这个级数在 t 中是一致有效的。

另请参阅

夏利埃级数, 科尼什-费希尔渐近展开

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (编). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 935, 1972.Charlier, C. V. L. "Über dir Darstellung willkürlicher Funktionen." Ark. Mat. Astr. och Fys. 2, No. 20, 1-35, 1906.Cramér, H. "On the Composition of Elementary Errors." Skand. Aktuarietidskr. 11, 13-74 and 141-180, 1928.Edgeworth, F. Y. "The Law of Error." Cambridge Philos. Soc. 20, 36-66 and 113-141, 1905.Esseen, C. G. "Fourier Analysis of Distribution Functions." Acta Math. 77, 1-125, 1945.Hsu, P. L. "The Approximate Distribution of the Mean and Variance of a Sample of Independent Variables." Ann. Math. Stat. 16, 1-29, 1945.Kenney, J. F. and Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 107-108, 1951.Wallace, D. L. "Asymptotic Approximations to Distributions." Ann. Math. Stat. 29, 635-654, 1958.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

埃奇沃思级数

请这样引用

魏斯坦, 埃里克·W. "埃奇沃思级数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EdgeworthSeries.html

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