主题
Search

双随机矩阵

双随机矩阵是一个矩阵 A=(a_(ij)) 使得 a_(ij)>=0 且

sum_(i)a_(ij)=sum_(j)a_(ij)=1

是所有 i 和 j 的某个域。换句话说，矩阵本身及其转置都是随机矩阵。

下表给出了在 Z_m 上对于小的 m 的不同双随机矩阵（和不同的非奇异双随机矩阵）的数量。

m在 Z_m 上的双随机 n×n 矩阵
21, 2, 16, 512, ...
31, 3, 81, ...
41, 4, 256, ...
m在 Z_m 上的非奇异双随机 n×n 矩阵
21, 2, 6, 192, ...
31, 2, 54, ...
41, 4, 192, ...

Horn (1954) 证明如果 y=Ax，其中 x 和 y 是复数 n-向量，A 是双随机矩阵，且 c_1, c_2, ..., c_n 是任意复数，则 sum_(i=1)^(n)c_iy_i 位于所有点 sum_(i=1)^(n)c_ix_(alphai), alpha in R^n 的凸包中，其中 R^n 是 {1,...,n} 的所有排列的集合。Sherman (1955) 也证明了逆定理。

Birkhoff (1946) 证明了任何 n×n 双随机矩阵都在 m 个 置换矩阵的凸包中，对于 m<=(n-1)^2+1。关于这个结果有几个证明和扩展 (Dulmage and Halperin 1955, Mendelsohn and Dulmage 1958, Mirsky 1958, Marcus 1960)。

参见

Majorization, 随机矩阵

使用 探索

参考文献

Birkhoff, G. "Three Observations on Linear Algebra." Univ. Nac. Tucumán. Rev. Ser. A 5, 147-151, 1946.Dulmage, L. and Halperin, I. "On a Theorem of Frobenius-König and J. von Neumann's Game of Hide and Seek." Trans. Roy. Soc. Canada Sect. III 49, 23-29, 1955.Horn, A. "Doubly Stochastic Matrices and the Diagonal of a Rotation Matrix." Amer. J. Math. 76, 620-630, 1954.Marcus, M. "Some Properties and Applications of Doubly Stochastic Matrices." Amer. Math. Monthly 67, 215-221, 1960.Mendelsohn, N. S. and Dulmage, A. L. "The Convex Hull of Subpermutation Matrices." Proc. Amer. Math. Soc. 9, 253-254, 1958.Mirsky, L. "Proofs of Two Theorems on Doubly Stochastic Matrices." Proc. Amer. Math. Soc. 9, 371-374, 1958.Schreiber, S. "On a Result of S. Sherman Concerning Doubly Stochastic Matrices." Proc. Amer. Math. Soc. 9, 350-353, 1958.Sherman, S. "A Correction to 'On a Conjecture Concerning Doubly Stochastic Matrices.' " Proc. Amer. Math. Soc. 5, 998-999, 1954.Sherman, S. "Doubly Stochastic Matrices and Complex Vector Spaces." Amer. J. Math. 77, 245-246, 1955.

在 上被引用

双随机矩阵

请引用为

Weisstein, Eric W. "双随机矩阵。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DoublyStochasticMatrix.html

主题分类