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互相关定理

设 f*g 表示函数 f(t) 和 g(t) 的互相关。那么

f*g=int_(-infty)^inftyf^_(tau)g(t+tau)dtau
(1)
=int_(-infty)^infty[int_(-infty)^inftyF^_(nu)e^(2piinutau)dnuint_(-infty)^inftyG(nu^')e^(-2piinu^'(t+tau))dnu^']dtau
(2)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piitau(nu^'-nu))e^(-2piinu^'t)dtaudnudnu^'
(3)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piinu^'t)[int_(-infty)^inftye^(-2piitau(nu^'-nu))dtau]dnudnu^'
(4)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piinu^'t)delta(nu^'-nu)dnu^'dnu
(5)
=int_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu)e^(-2piinut)dnu
(6)
=F[F^_(nu)G(nu)],
(7)

其中 F 表示傅里叶变换，z^_ 是复共轭，以及

f(t)=F_nu[F(nu)](t)=int_(-infty)^inftyF(nu)e^(-2piinut)dnu
(8)
g(t)=F_nu[G(nu)](t)=int_(-infty)^inftyG(nu)e^(-2piinut)dnu.
(9)

在等式两边应用傅里叶变换得到互相关定理，

f*g=F[F^_(nu)G(nu)].
(10)

如果 F=G，那么互相关定理简化为维纳-辛钦定理。

另请参阅

傅里叶变换, 维纳-辛钦定理

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引用为

Weisstein, Eric W. "互相关定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Cross-CorrelationTheorem.html

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