列联表

列联表，有时也称为双向频率表，是一种表格机制，至少有两行和两列，在统计学中用于以频数计数的形式呈现分类数据。更准确地说，一个 列联表显示了两个变量的观测频率，这些观测频率被排列成 行和 列。列联表的行和列的交叉点称为单元格。

例如，上面的列联表有两行五列（不包括标题行/列），显示了根据两个变量（即性别和最喜欢的冰淇淋食用方式 (Larson and Farber 2014)）对 名成年人进行随机抽样的结果。以列联表形式呈现数据的一个好处是，它可以更轻松地执行基本的概率计算，通过在表格中添加汇总行和列，这项工作变得更加容易。

上表是通过添加汇总行和列获得的第一个表的扩展版本。这些汇总使得更容易计算几个不同的概率相关量。例如，被抽样的人喜欢用杯子吃冰淇淋的概率约为 ，即 45.54%，而随机参与者是女性的概率约为 ，即 45.45%。更重要的是，使用列联表可以更轻松地计算条件概率，例如，在已知该人为男性的情况下，某人喜欢冰淇淋三明治的概率为 ，即 2%，而在已知偏好冰淇淋三明治的情况下，某人为男性的条件概率为 ，约为 54.54%。

其他常见的统计分析可以在以列联表形式给出的数据上执行。例如，一个有用的已知值是列 和行 交汇处的单元格的所谓期望频率 ，其公式为：

(1)

计算 表示在单元格 处期望的值——即，喜欢用杯子吃冰淇淋的男性人数的期望值——大约是：

(2)

由此可以推断出，在给定的样本中，该特定人群的“多于预期”。另请注意，知道 会自动给出，例如 ，而无需重复应用 ()

(3)

计算期望频率的主要好处之一是能够检验所检查的两个变量（在本例中为性别和最喜欢的冰淇淋食用方式）是否像之前假设的那样实际上是独立的。这是通过计算每个单元格 的期望频率 ，将其与观测频率 进行比较，然后执行卡方检验来完成的。

与列联表相关的另一个常见检验是所谓的比例同质性检验，它是卡方检验的一种形式，用于确定当从不同人群中抽取样本时，几个比例是否相等 (Larson and Farber 2014)。值得注意的是，上述卡方检验的两个实例都需要对观测频率进行随机抽样，且每个观测频率的期望频率至少为 5。这些检验在统计学的各个分支中都起着重要作用。