范畴公理系统

如果一个公理系统只有一种本质上不同的表示，那么它就被称为范畴的。 特别是，系统内对象的名称和类型可能会有所不同，但仍被认为是“相同的”，例如，几何及其平面对偶。

一个非范畴公理系统的例子是由以下四个公理描述的几何（Smart）

1. 存在五个点。

2. 每条线都是这五个点的子集。

3. 存在两条线。

4. 每条线至少包含两个点。

要看出这是一个非范畴公理系统的一种方法是注意到可以从两个根本不同的模型中形成一个兼容的系统，例如：

1. 两条不相交的线，每条线包含两个点，外加一个不在任何一条线上的单独的点。

2. 两条线，每条线包含三个点，它们在一个点上相交。

一个模型中存在交点而另一个模型中不存在交点，这意味着这些模型从根本上是不同的，因此是不等价的。