Cartan 子代数

设 是在某个域 上的有限维 李代数。 的一个 子代数 称为 Cartan 子代数，如果它是 幂零的 并且等于它的正规化子，正规化子是满足 的那些元素 的集合。

从定义可以得出，如果 是幂零的，那么 本身就是 的 Cartan 子代数。另一方面，设 是 的所有 自同态 的李代数（对于某个自然数 ），其中 。那么，形式为 的 的所有 自同态 的集合是 的 Cartan 子代数。

可以证明：

1. 如果 是无限的，那么 具有 Cartan 子代数。

2. 如果 的特征标等于 ，那么 的所有 Cartan 子代数都具有相同的维数。

3. 如果 是代数闭的且其特征标等于 0，那么，给定 的两个 Cartan 子代数 和 ，存在 的一个 自同构 使得 。

4. 如果 是半单的，且 是一个特征标为 0 的无限域，那么 的所有 Cartan 子代数都是阿贝尔的。

李代数 的每个 Cartan 子代数都是 的极大幂零子代数。然而， 的极大幂零子代数不一定是 Cartan 子代数。例如，如果 是 的所有 自同态 的李代数，其中 ，并且如果 是形式为 的所有 自同态 的子代数，那么 是 的极大幂零子代数，但不是 Cartan 子代数。