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阿基米德的牛群问题

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阿基米德的牛群问题，也称为牛群难题，或阿基米德反问题，描述如下：“太阳神有一群牛，包括公牛和母牛，其中一部分是白色的，第二部分是黑色的，第三部分是斑点的，第四部分是棕色的。在公牛中，白色的数量比棕色的多出黑色的二分之一加三分之一；黑色的数量比棕色的多出斑点牛的四分之一加五分之一；斑点牛的数量比棕色的多出白牛的六分之一和七分之一。在母牛中，白色的数量是黑色牛总数的三分之一加四分之一；黑色的数量是斑点牛总数的四分之一加五分之一；斑点牛的数量是棕色牛总数的五分之一加六分之一；棕色牛的数量是白色牛总数的六分之一加七分之一。这群牛的构成是什么？”

解法包括求解关于整数的联立丢番图方程 W, X, Y, Z (白色、黑色、斑点和棕色公牛的数量) 和 w, x, y, z (白色、黑色、斑点和棕色母牛的数量)，

W=5/6X+Z
(1)
X=9/(20)Y+Z
(2)
Y=(13)/(42)W+Z
(3)
w=7/(12)(X+x)
(4)
x=9/(20)(Y+y)
(5)
y=(11)/(30)(Z+z)
(6)
z=(13)/(42)(W+w).
(7)

最小的整数解是

W=10366482
(8)
X= 7460514
(9)
Y= 7358060
(10)
Z= 4149387
(11)
w= 7206360
(12)
x= 4893246
(13)
y= 3515820
(14)
z= 5439213.
(15)

这个问题的一个更复杂版本要求 W+X 是一个平方数，Y+Z 是一个三角形数。这个问题的解是具有 206544 或 206545 位数字的数字，这最早由 Williams 等人 (1965) 获得。他们的计算花费了 7 小时 49 分钟的计算时间，结果被存放在《Mathematics of Computation》杂志的未发表数学表格文件中。Nelson (1980-81) 发表了来自 CRAY 1 计算机的 47 页打印输出，其中包含 206545-digit solution. 这些计算，连同检查，大约花费了十分钟。除了最小的解之外，还发现了五个额外的解来进一步测试计算机，其中最大的解包含超过一百万位数字 (Rorres)。最近，Vardi (1998) 开发了简单的显式公式来生成牛群问题的解。事实上，可以使用 Wolfram Language 中的FindInstance轻松（几乎）完成解题。牛的总数由下式给出

W+X+Y+Z+w+x+y+z=7.760271...×10^(206544)
(16)

(OEIS A096151)。

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 中被引用

阿基米德的牛群问题

请引用为

Weisstein, Eric W. “阿基米德的牛群问题。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ArchimedesCattleProblem.html

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