连续应用阿基米德递推公式得到阿基米德算法，该算法可用于提供对 
(pi) 的逐次逼近。该算法也称为 Borchardt-Pfaff 算法。阿基米德通过在圆上外切和内接 
-边形，获得了对 
的第一个严格逼近。根据阿基米德递推公式，外切和内接多边形的周长 
和 
分别为：
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(1)
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(2)
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其中
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(3)
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对于六边形，
且
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(4)
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(5)
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其中 
。 阿基米德递推公式的第一次迭代给出：
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(6)
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(7)
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(8)
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额外的迭代没有简单的闭合形式，但 
, 1, 2, 3, 4（分别对应 6-, 12-, 24-, 48- 和 96-边形）的数值近似值为：
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(9)
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(10)
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(11)
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(12)
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(13)
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通过取 
（一个 96 边形）并在每一步使用严格不等式将无理界限转换为有理界限，阿基米德获得了稍微宽松的结果：
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(14)
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