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阿贝尔变换

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以下积分变换关系，被称为阿贝尔变换，存在于两个函数 f(x) 和 g(t) 之间，对于 0<alpha<1,

f(x)=int_0^x(g(t)dt)/((x-t)^alpha)
(1)
g(t)=(sin(pialpha))/pid/(dt)int_0^t(f(x)dx)/((t-x)^(1-alpha))
(2)
=(sin(pialpha))/pi[int_0^t(df)/(dx)(dx)/((t-x)^(1-alpha))+(f(0))/(t^(1-alpha))].
(3)

阿贝尔变换用于计算星系的径向质量分布，以及反演行星无线电掩星数据以获得作为高度函数的大气信息。

Bracewell (1999, p. 262) 定义了略有不同的阿贝尔变换形式，如下所示

g(x)=A[f(r)]=2int_x^infty(f(r)rdr)/(sqrt(r^2-x^2)).
(4)

下表给出了一些常见的阿贝尔变换对 (Bracewell 1999, p. 264)。 其中，

Pi_a(x)={1 for 0<x<a; 0 otherwise,
(5)

其中 Pi(x) 是矩形函数，以及

M(x)=2pi[x^(-3)int_0^xJ_0(x)dx-x^(-2)J_0(x)]
(6)
=(pi^2)/(x^2)[J_1(x)H_0(x)-J_0(x)H_1(x)],
(7)

其中 J_n(x) 是第一类贝塞尔函数，而 H_n(x) 是斯特鲁夫函数。

f(r)g(x)条件
Pi_a(r)2sqrt(a^2-x^2)0<x<a
(a^2-r^2)^(-1/2)Pi_a(r)pi0<x<a
sqrt(a^2-r^2)Pi_a(r)1/2pi(a^2-x^2)0<x<a
(a^2-r^2)Pi_a(r)4/3(a^2-x^2)^(3/2)0<x<a
(a^2-r^2)^(3/2)Pi_a(r)3/8pi(a^2-x^2)^20<x<a
(a-r)Pi_a(r)asqrt(a^2-x^2)-x^2cosh^(-1)(a/x)
1/picosh^(-1)(a/r)a-x
delta(r-a)(2a)/(sqrt(a^2-x^2))Pi_a(x)
e^(-r^2/sigma^2)sigmasqrt(pi)e^(-x^2/sigma^2)sigma>0
r^2e^(-r^2/sigma^2)sigma(x^2+1/2sigma^2)sqrt(pi)e^(-x^2/sigma^2)sigma>0
(e^(-r^2/sigma^2))/(sigmasqrt(pi))(r^2-1/2sigma^2)x^2e^(-x^2/sigma^2)sigma>0
1/(b^2+r^2)pi/(sqrt(b^2+x^2))b^2+x^2>0
J_0(omegar)(2cos(omegax))/omegaomega>0
M(r)(8pi^4)/(omega^3x^2)sin^2((xomega)/(2pi))omega>0

另请参阅

傅里叶变换, 希尔伯特变换, 积分方程

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参考文献

Abel, N. H. Oeuvres Completes (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp., pp. 11 and 97, 1988.Arfken, G. and Weber, H. J. Mathematical Methods for Physicists, 6th ed. Orlando, FL: Academic Press, p. 1014, 2005.Binney, J. and Tremaine, S. Galactic Dynamics. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 651, 1987.Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 262-266, 1999.Hilfer, R. (Ed.). Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore: World Scientific, pp. 3-4, 2000.Liouville, J. "Memoire sur quelques quéstions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre pour réspondre ces quéstions." J. École Polytech. 13, 1-69, 1832.Lützen, J. Joseph Liouville, 1809-1882. Master of Pure and Applied Mathematics. New York: Springer-Verlag, p. 314, 1990.Whittaker, E. T. and Robinson, G. The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 376-377, 1967.

在 中引用

阿贝尔变换

请引用为

Weisstein, Eric W. "阿贝尔变换。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AbelTransform.html

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