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通用微分方程

通用微分方程 (UDE) 是一种非平凡的微分-代数方程，其特性是它的解可以任意精度逼近实数线上任何区间的任何连续函数。

Rubel (1981) 发现了第一个已知的 UDE，他证明了，给定任何连续函数 phi:R->R 和任何正连续函数 epsilon:R->R^+，存在一个 C^infty 解 y 满足

3y^'^4y^('')y^('''')^2-4y^'^4y^(''')^2y^('''')+6y^'^3y^('')^2y^(''')y^('''')+24y^'^2y^('')^4y^('''')-12y^'^3y^('')y^(''')^3-29y^'^2y^('')^3y^(''')^2+12y^('')^7=0
(1)

使得

|y(t)-phi(t)|<epsilon(t)
(2)

对于所有 t in R。

Duffin (1981) 发现了另外两个 UDE 族，

n^2y^('''')y^'^2+3n(1-n)y^(''')y^('')y^'+(2n^2-3n+1)y^('')^3=0
(3)

和

ny^('''')y^'^2+(2-3n)y^(''')y^('')y^'+2(n-1)y^('')^3=0,
(4)

它们的解是 C^n 对于 n>3。

Briggs (2002) 发现了另一个 UDE 族，由下式给出

y^('''')y^'^2-3y^(''')y^('')y^'+2(1-n^(-2))y^('')^3=0
(5)

对于 n>3。

另请参阅

微分-代数方程

此条目由 Keith Briggs 贡献

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参考文献

Boshernitzan, M. “通用公式和通用微分方程。” Ann. Math. 124, 273-291, 1986.Boshernitzan, M. 和 Rubel, L. A. “多项式的相干族。” Analysis 6, 339-389, 1985.Briggs, K. “另一个通用微分方程。” 2002 年 11 月 8 日。 http://arxiv.org/abs/math.CA/0211142.Duffin, R. J. “Rubel 的通用微分方程。” Proc. Nat. Acad. Sci. USA 78, 4661-4662, 1981.Elsner, C. “关于用 C^infty-三阶微分方程的解逼近连续函数。” Math. Nachr. 157, 235-241, 1992.Elsner, C. “一个通用泛函方程。” Proc. Amer. Math. Soc. 127, 139-143, 1999.Rubel, L. A. “一个通用微分方程。” Bull. Amer. Math. Soc. 4, 345-349, 1981.Rubel, L. A. “关于代数微分方程的一些研究问题。” Trans. Amer. Math. Soc. 280, 43-52, 1983.Rubel, L. A. “关于代数微分方程的一些研究问题 II。” Illinois J. Math. 36, 659-680, 1992.Rubel, L. A. “所有满足相同代数微分方程的有理函数的一致逼近。” J. Approx. Th. 84, 123-128, 1996.

在 中被引用

通用微分方程

引用为

Briggs, Keith. “通用微分方程。” 来自 —— 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/UniversalDifferentialEquation.html

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