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三角代换

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积分 形如

intf(costheta,sintheta)dtheta
(1)

可以通过进行代换 z=e^(itheta) 来求解，使得 dz=ie^(itheta)dtheta 并表达

costheta=(e^(itheta)+e^(-itheta))/2
(2)
=(z+z^(-1))/2
(3)
sintheta=(e^(itheta)-e^(-itheta))/(2i)
(4)
=(z-z^(-1))/(2i).
(5)

然后可以通过围道积分求解该积分。

或者，进行 魏尔斯特拉斯代换 t=tan(theta/2) 将 (◇) 转换为

intf((1-t^2)/(1+t^2),(2t)/(1+t^2))(2dt)/(1+t^2).
(6)

下表给出了可以用来转换涉及平方根的积分的三角代换。

形式代换
sqrt(a^2-x^2)x=asintheta
sqrt(a^2+x^2)x=atantheta
sqrt(x^2-a^2)x=asectheta

另请参阅

围道积分, 双曲代换, 积分, 积分, 魏尔斯特拉斯代换

使用 探索

请引用为

Weisstein, Eric W. “三角代换。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TrigonometricSubstitution.html

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