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三角函数幂公式

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幂公式包括

sin^2x=1/2[1-cos(2x)]
(1)
sin^3x=1/4[3sinx-sin(3x)]
(2)
sin^4x=1/8[3-4cos(2x)+cos(4x)]
(3)

和

cos^2x=1/2[1+cos(2x)]
(4)
cos^3x=1/4[3cosx+cos(3x)]
(5)
cos^4x=1/8[3+4cos(2x)+cos(4x)]
(6)

(Beyer 1987, p. 140)。这些类型的公式也可以解析地表示为

sin^(2n)x=1/(2^(2n))(2n; n)+((-1)^n)/(2^(2n-1))sum_(k=0)^(n-1)(-1)^k(2n; k)cos[2(n-k)x]
(7)
sin^(2n+1)x=((-1)^n)/(4^n)sum_(k=0)^(n)(-1)^k(2n+1; k)sin[(2n+1-2k)x]
(8)
cos^(2n)x=1/(2^(2n))(2n; n)+1/(2^(2n-1))sum_(k=0)^(n-1)(2n; k)cos[2(n-k)x]
(9)
cos^(2n+1)x=1/(4^n)sum_(k=0)^(n)(2n+1; k)cos[(2n+1-2k)x],
(10)

其中 (n; m) 是一个 二项式系数。

其他有用的幂恒等式包括

a^2cos^2x+b^2sin^2x=1/2[a^2+b^2+(a^2-b^2)cos(2x)] a^2cos^4x-b^2sin^4x =1/8{2(a^2+b^2)+(a^2-b^2)[cos(4x)+3]},
(11)

Wolfram 语言的FullSimplify命令遗憾地对此并不知晓。

另请参阅

三角函数加法公式, 三角学

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 博卡拉顿，佛罗里达州：CRC 出版社，1987 年。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

三角函数幂公式

如此引用

Weisstein, Eric W. “三角函数幂公式。” 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TrigonometricPowerFormulas.html

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