四面体线段选取

给定一个单位体积的正四面体，考虑连接在四面体内随机选取的点对的线段长度。长度的分布如上图所示，平均线段长度可以用闭合形式给出，如下所示：

			(1)
			(2)

(OEIS A366019; Beck 2023)。

这个优美的结果取代了 E. Weisstein 于 2005 年 2 月使用准蒙特卡洛数值积分估计的近似值 。（事实上，使用最大误差增量为 的全局自适应方法的数值积分给出了更精确的估计值 0.729462。）

要获得单位边长的正四面体（而不是单位体积）的平均线段长度，求解 （其中 是以边长表示的四面体体积）关于 的方程，得到 ，并取 ，得到：

			(3)
			(4)

此值在 Wolfram 语言中实现为：PolyhedronData["Tetrahedron", "MeanInteriorLineSegmentLength"].