和积数

和积数是一个数字 ，使得它的各位数字之和乘以各位数字之积等于 本身，例如

(1)

显然，这样的数字必须能被它的各位数字以及各位数字之和整除。和积数只有三个：1、135 和 144 (OEIS A038369)。这可以使用 D. Wilson 的以下论证来证明。

设 是一个 位的和积数，并设 和 分别是它的各位数字之和与各位数字之积。因为 是一个 位数，我们有

(2)

现在，由于 是一个和积数，我们有 ，得到

(3)

不等式 仅当 时成立，因此和积数最多有 84 位数字。

这给出

(4)

现在，由于 是各位数字的乘积， 必须是 形如 。然而，如果 10 能整除 ，那么它也能整除 。这意味着 以 0 结尾，因此它的各位数字之积为 ，从而得到 。因此，我们无需考虑 能被 10 整除的情况，并且可以假设 是 形如 或 。这缩小了和积数的搜索空间到一个可处理的大小，并允许 Wilson 验证没有更多的和积数。

下表总结了直到 的近似值，其中 是各位数字之和， 是 的十进制数字的乘积。

	OEIS
0	A038369	1, 135, 144
1		13, 91, 1529
2		2, 32, 418, 3572, 32398, 66818, 1378946, ...
3		219, 6177, 35277, 29859843, ...
4		724, 1628, 5444, 437476, 1889285, 3628795, ...
5		1285, 3187, 12875, 124987, 437467, 1889285, 3628795, ...
6		3, 12, 14, 22, 42, 182, 1356, 1446, 7932, 18438, 25926, 29859834, ...
7		23, 3463, 8633, 58247, 29719879, ...
8		7789816, ...
9		11, 81, 5871, 58329, ...

和积与其本身之差分别为 0、1、2、... 的最小 值是 1, 13, 2, 219, 724, 1285, 3, 23, 7789816, ... (OEIS A114457)。第一个未知值出现在 时，它必须大于 (E. W. Weisstein, 2006 年 1 月 31 日)。