稳定多项式

一个 实多项式 被称为稳定的，如果它的所有 根 都位于 左半平面 中。“稳定”一词用于描述这种多项式，因为在线性伺服机构理论中，系统表现出 形式的无外力时变运动，其中 是某个 实多项式 的根。因此，一个系统在机械上是稳定的 当且仅当 是一个稳定多项式。

多项式 是稳定的 当且仅当 ，且 不可约多项式 是稳定的 当且仅当 和 都大于零。劳斯-赫尔维茨定理 可用于确定多项式是否稳定。

给定两个实多项式 和 ，如果 和 是稳定的，那么它们的乘积 也是稳定的，反之亦然（Séroul 2000，第 280 页）。因此，稳定实多项式的系数要么都为正，要么都为负（尽管这不是一个 充分 条件，如反例 所示）。此外，稳定多项式在 时的值永远不为零，并且与多项式的系数具有相同的符号。

无需预先知道多项式的根，就可以使用 Strelitz (1977) 的以下定理来判断多项式是否稳定。设 为一个实多项式，其根为 ，...，，构建 为首一实多项式，其次数为 ，根为 ，其中 。那么 是稳定的 当且仅当 和 的所有系数都为正数（Séroul 2000，第 281 页）。

例如，给定三阶多项式 ，根和多项式 由下式给出

(1)

通过求解要求 和 的每个系数都大于零的不等式，可以得到 稳定的条件为 、、。

同样，对于四阶多项式 ，根和多项式为

(2)

因此， 稳定的条件可以解析为 、、、。

五阶多项式为

(3)

以下 Wolfram 语言 代码计算根和多项式 以及从系数获得的不等式

  RootSumPolynomial[r_List, x_]:=Module[
      {n = Length[r], i, j},
      RootReduce@Collect[Expand[
        Times@@((x - #)&/@Flatten[
          Table[r[[i]] + r[[j]], {i, n},
            {j, i+1, n}]])
      ], x]
  ]
  RootSumPolynomial[p_?PolynomialQ, x_]:=
    RootSumPolynomial[RootList[p, x], x]
  RootList[p_?PolynomialQ, x_]:=
    x /. {ToRules[Roots[p==0, x,
      Cubics -> False, Quartics -> False
    ]]}
  RootSumInequalities[p_?PolynomialQ, x_]:=
    And @@ (# > 0& /@
      Flatten[CoefficientList[#, x]& /@
        {RootSumPolynomial[p, x], p}])

而以下代码将三次情况下的不等式简化为最小集合

  Resolve[Exists[x, Element[(a | b | c | x), Reals],
    RootSumInequalities[x^3 + a x^2 + b x + c, x]
  ], {a, b, c}]