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平方-三角形定理

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平方-三角形定理指出，任何非负整数都可以表示为一个平方数、一个偶平方数和一个三角形数的和 (Sun 2005)，即，

n=x^2+(2y)^2+1/2z(z+1)
(1)

对于 x、y 和 z 为整数。例如，

11=1+4+6
(2)
34=9+4+21,
(3)

对应于解 (x,y,z)=(1,1,3) 和 (3,1,6) 的解，分别地。

缺少表示的 n 值，其中 x、y 和 z 都不为零的是 1, 2, 3, 4, 7, 10, 12, 22 和 24 (OEIS A118426)。

下表给出了前几个 n 的解。

n解 (x,y,z)
1(-1,0,-1), (-1,0,0), (0,0,-2), (0,0,1), (1,0,-1), (1,0,0)
2(-1,0,-2), (-1,0,1), (1,0,-2), (1,0,1)
3(0,0,-3), (0,0,2)
4(2,0,-1), (0,1,0), (-2,0,-1), (1,0,-3), (-2,0,0), (1,0,2), (-1,0,-3), (0,-1,-1), (2,0,0), (0,-1,0)
5(1,-1,-1), (0,-1,1), (-2,0,-2), (0,1,-2), (-1,-1,-1), (-2,0,1), (-1,1,0), (1,1,-1), (2,0,-2), (-1,1,-1)
6(-1,-1,-2), (-1,-1,1), (-1,1,-2), (-1,1,1), (0,0,-4), (0,0,3), (1,-1,-2), (1,-1,1), (1,1,-2), (1,1,1)
7(2,0,-3), (0,1,2), (-2,0,-3), (1,0,-4), (-2,0,2), (1,0,3), (-1,0,-4), (0,-1,-3), (2,0,2), (0,-1,2)
8(1,1,-3), (-1,1,2), (-2,-1,-1), (1,-1,-3), (-2,1,-1), (-2,-1,0), (-1,-1,2), (2,-1,-1), (2,1,-1), (-1,-1,-3)
9(3,0,-1), (2,-1,1), (-3,0,-1), (2,1,-2), (-3,0,0), (2,1,1), (-2,-1,-2), (-2,1,-2), (3,0,0), (-2,1,1)
10(2,0,-4), (0,0,4), (-3,0,-2), (0,1,-4), (-2,0,-4), (-3,0,1), (0,1,3), (0,0,-5), (3,0,1), (2,0,3)

对于 n=1, 2, ... 解的数量是 6, 4, 2, 12, 16, 10, 12, 16, 12, 14, 20, 4, 8, 24, 14, ... (OEIS A118421)。最高记录是 6, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 40, 44, 56, 60, 72, 80, 88, 96, 108, ... (OEIS A118422)，出现在 n=1, 4, 5, 11, 14, 19, 20, 23, 26, 41, 53, 68, 86, 110, 145, ... (OEIS A118423)。

参见

Euler's Conjecture, Waring's Problem

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参考文献

Sloane, N. J. A. 序列 A118421, A118422, A118422, 和 A118426 在“整数序列在线百科全书”中。Sun, Z.-W. “每个自然数都具有 x^2+(2y)^2+z(z+1)/2 的形式。” 2005年5月9日。 http://arxiv.org/abs/math/0505128。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

平方-三角形定理

请引用为

Weisstein, Eric W. “平方-三角形定理。” 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Square-TriangleTheorem.html

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