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Somos 序列

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Somos 序列是一组相关的对称递推关系，令人惊讶的是，它们总是给出整数。阶数为 k 的 Somos 序列，或 Somos-k 序列，定义为

a_n=(sum_(j=1)^(|_k/2_|)a_(n-j)a_(n-(k-j)))/(a_(n-k)),
(1)

其中 |_x_| 是向下取整函数，且当 j=0, ..., k-1 时，a_j=1。

2-Somos 和 3-Somos 序列完全由 1 组成。当 k=4, 5, 6 和 7 时，k-Somos 序列为

a_n=(a_(n-1)a_(n-3)+a_(n-2)^2)/(a_(n-4))
(2)
a_n=(a_(n-1)a_(n-4)+a_(n-2)a_(n-3))/(a_(n-5))
(3)
a_n=1/(a_(n-6))[a_(n-1)a_(n-5)+a_(n-2)a_(n-4)+a_(n-3)^2]
(4)
a_n=1/(a_(n-7))[a_(n-1)a_(n-6)+a_(n-2)a_(n-5)+a_(n-3)a_(n-4)].
(5)

前几项总结在下表中。

kOEISa_0^((k)), a_1^((k)), ...
4A0067201, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, ...
5A0067211, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, ...
6A0067221, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, ...
7A0067231, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, ...

Speyer (2004) 发现了 Somos-4 和 Somos-5 的组合解释，Carroll 和 Speyer (2004) 发现了 Somos-6 和 Somos-7 的组合解释。

Gale (1991) 给出了 Somos-4 和 Somos-5 序列仅为整数性质的简单证明，并将第一个证明归功于 Janice Malouf。在未发表的工作中，Hickerson 和 Stanley 独立证明了 Somos-6 序列仅为整数。Ben Lotto 在 1990 年发现了 Somos-7 仅为整数的未发表证明。Fomin 和 Zelevinsky (2002) 给出了 Somos-6 仅为整数的第一个已发表证明。

然而，当 k>=8 时，k-Somos 序列不给出整数。对于 k=8, 9, ... 的 Somos-k 序列，a_n 首次变为非整数的 n 值是 17, 19, 20, 22, 24, 27, 28, 30, 33, 34, 36, 39, 41, 42, 44, 46, 48, 51, 52, 55, 56, 58, 60, ... (OEIS A030127)。

另请参阅

Göbel 序列, Heronian 三角形

本条目部分内容由 Jim Propp 贡献

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参考文献

Buchholz, R. H. 和 Rathbun, R. L. "An Infinite Set of Heron Triangles with Two Rational Medians." Amer. Math. Monthly 104, 107-115, 1997.Carroll, G. D. 和 Speyer, D. "The Cube Recurrence." 2004 年 3 月 24 日. http://www.arxiv.org/abs/math.CO/0403417/.Fomin, S. 和 Zelevinsky, A. "The Laurent Phenomenon." Adv. Appl. Math. 28, 19-44, 2002.Gale, D. "Mathematical Entertainments: The Strange and Surprising Saga of the Somos Sequences." Math. Intel. 13, 40-42, 1991.Gima, H.; Matsusaka, T.; Miyazaki, T.; 和 Yara, S. "On Integrality and Asymptotic Behavior of the (k,l)-Göbel Sequences." 2024 年 2 月 14 日. https://arxiv.org/pdf/2402.09064.Malouf, J. L. "An Integer Sequence from a Rational Recursion." Disc. Math. 110, 257-261, 1992.Propp, J. "The Somos Sequence Site." http://jamespropp.org/somos.html.Robinson, R. M. "Periodicity of Somos Sequences." Proc. Amer. Math. Soc. 116, 613-619, 1992.Sloane, N. J. A. 序列 A006720/M0857, A006721/M0735, A006722/M2457, A006723/M2456, 和 A030127，出自 "整数序列在线百科全书"。Speyer, D. "Perfect Matchings and the Octahedron Recurrence." 2004 年 3 月 2 日. http://www.arxiv.org/abs/math.CO/0402452/.Stone, A. "The Astonishing Behavior of Recursive Sequences." Quanta. 2023 年 11 月 16 日. https://www.quantamagazine.org/the-astonishing-behavior-of-recursive-sequences-20231116.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Somos 序列

引用为

Propp, Jim 和 Weisstein, Eric W. "Somos 序列。" 出自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SomosSequence.html

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