考虑递推关系
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(1)
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其中 
。 
的前几项迭代为 1, 2, 3, 5, 10, 28, 154, ... (OEIS A003504)。这些项增长极快，但由渐近公式给出
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(2)
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(OEIS A116603；修正了 Finch 2003, p. 446)，其中
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(3)
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(OEIS A115632；Finch 2003, p. 446；Zagier)。
使用变换后的序列更方便
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(4)
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它给出了新的递推式
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(5)
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初始条件为 
。此序列的前几项为 2, 6, 15, 40, 140, 924, 24640, ... (OEIS A061322)。现在，当且仅当 
时，
将为非整数 当且仅当 。最小的素数 
使得 
(mod 
) 因此给出了最小的非整数 
。此外，由于 
，
也将是最小的非整数 
。
例如，以下表格总结了前几个序列 
。（请注意，应用于分数的同余会产生整数值。）
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| 2 | 0, 0 |
| 3 | 2, 0, 0 |
| 5 | 2, 1, 0, 0, 0 |
| 7 | 2, 6, 1, 5, 0, 0, 0 |
| 11 | 2, 6, 4, 7, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0 |
| 13 | 2, 6, 2, 1, 10, 1, 5, 1, 0, 0, 0, 0, 0 |
| 17 | 2, 6, 15, 6, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 0 |
虽然对于 
和 
的小值，可以显式计算 
（以及因此它们模 
的值），但分数很快就会变得太大而无法精确表示。但是，直接计算模 
的项可以避免项的增长，并且以这种方式测试 
的值表明，第一个非整数 
是 
。正如预期的那样，直接验证这一事实是不可能的，因为
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(6)
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（使用渐近公式计算得出）太大而无法显式计算和存储。 
的前几个值，对于这些值，
不是整数，是 43, 61, 67, 83, 103, 107, 109, 157, ... (OEIS A378851)。
一个更引人注目的序列是 3-Göbel 序列，它仅对有限多个项假设整数值
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(7)
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此序列的前几项为 1, 2, 5, 45, 22815, ... (OEIS A005166)。
Göbel 序列可以推广到 
次幂，通过
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(8)
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Göbel 序列可以推广到 
-Göbel 序列，由递归定义
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(9)
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对于整数 
且初始值为 
(Ibstedt 1990, Gima et al. 2024)。
-Göbel Sequences." 2024 年 2 月 14 日。