分离公理

拓扑空间 的五个性质的列表，表达了开放集“population（群体）”的丰富程度。更准确地说，它们每个都告诉我们一个闭子集可以被一个开放集包裹得多么紧密。紧密程度的衡量标准是这个包络可以将子集与其他子集分离的程度。从 0 到 4 的编号表示分离程度的增加。

0. T0 分离公理：对于任意两个点 ，存在一个开放集 ，使得 且 或 且 。

1. T1 分离公理：对于任意两个点 ，存在两个开放集 和 ，使得 且 ，并且 且 。

2. T2 分离公理：对于任意两个点 ，存在两个开放集 和 ，使得 ， ，并且 。

3. T3 分离公理： 满足 并且是正则的。

4. T4 分离公理： 满足 并且是正规的。

一些作者（例如，Cullen 1968，第 113 页和 118 页）互换了公理 和正则性，以及公理 和正规性。

满足 的 拓扑空间 简称为 -空间。在 Alexandroff 和 Hopf (1972) 的术语中，-空间也称为柯尔莫哥洛夫空间，-空间是弗雷歇空间，-空间是豪斯多夫空间，-空间是 Vietoris 空间，以及 -空间是 Tietze 空间。这些名称也可以指拓扑结构。

满足其中一个公理的拓扑空间也满足所有先前的公理，因为 。这些蕴含关系通常都不能逆转。只有在附加假设下才有可能。例如，正则 -空间是 ，而紧致 -空间是 (McCarty 1967, p. 145)。度量拓扑总是 ，而具有至少两个元素的空间上的平凡拓扑甚至不是 。一个拓扑是 但不是 的例子是其开放集为实数线的区间 。给定两个不同的实数 ，如果 ，则 ，但 。这表明公理 得到满足。公理 不满足，因为它很容易证明 为真当且仅当所有单点集都是闭集。因此， 的 Zariski 拓扑是 。然而，它不是 ，因为两个开放集的交集始终是非空的。

请注意，在此上下文中，“axiom（公理）”一词并非用作理论的“principle（原则）”的含义，后者必然需要被假定，而是用作定义中包含的“requirement（要求）”的含义，后者可以满足或不满足，取决于具体情况。