主题
Search

根图

下载 Mathematica 笔记本下载 Wolfram 笔记本
RootedGraphs

根图是一个 图，其中一个节点以特殊方式标记，以便与其他节点区分开来。这个特殊节点称为图的根。在 n 个节点上的根图与 对称关系 同构于 n 个节点。具有 p 个点的根图的数量的计数多项式是

r_p(x)=Z((S_1+S_(p-1))^((2)),1+x),
(1)

其中 S_1+S_(p-1) 是 对称群 S_(p-1)，每个元素都附加了一个额外的元素 {p}，(S_1+S_(p-1))^((2)) 是它的对群，而 Z((S_1+S_(p-1))^((2))) 是相应的循环指标 (Harary 1994, p. 186)。前几个循环指标是

Z((S_1+S_0)^((2)))=1
(2)
Z((S_1+S_1)^((2)))=x_1
(3)
Z((S_1+S_2)^((2)))=1/2x_1^3+1/2x_2x_1
(4)
Z((S_1+S_3)^((2)))=1/6x_1^6+1/2x_2^2x_1^2+1/3x_3^2
(5)
Z((S_1+S_4)^((2)))=1/(24)x_1^(10)+1/4x_2^3x_1^4+1/8x_2^4x_1^2+1/3x_3^3x_1+1/4x_2x_4^2.
(6)

代入 x_i=1+x^i 得到计数多项式

r_1=1
(7)
r_2=1+x
(8)
r_3=1+2x+2x^2+x^3
(9)
r_4=1+2x+4x^2+6x^3+4x^4+2x^5+x^6.
(10)

这给出了在下表中说明的具有 q 条边的 p 个节点上的根图的数组 (OEIS A070166)。

pq=0, 1, 2, ...
11
21, 1
31, 2, 2, 1
41, 2, 4, 6, 4, 2, 1
51, 2, 5, 11, 17, 18, 17, 11, 5, 2, 1

然后将 x=1 代入 r_p(x) 得到 p=1, 2, ... 个节点上的根图的数量，分别为 1, 2, 6, 20, 90, 544, ... (OEIS A000666)。

另请参阅

根顶点, 有根树

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Cameron, P. J. "Sequences Realized by Oligomorphic Permutation Groups." J. Integer Seqs. 3, #00.1.5, 2000.Harary, F. 图论。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 186, 1994.Harary, F. and Palmer, E. M. 图形计数。 New York: Academic Press, p. 241, 1973.Harary, F.; Palmer, E. M.; Robinson, R. W.; and Schwenk, A. J. "Enumeration of Graphs with Signed Points and Lines." J. Graph Theory 1, 295-308, 1977.McIlroy, M. D. "Calculation of Numbers of Structures of Relations on Finite Sets." Massachusetts Institute of Technology, Research Laboratory of Electronics, Quarterly Progress Reports. No. 17, Sept. 15, pp. 14-22, 1955.Oberschelp, W. "Kombinatorische Anzahlbestimmungen in Relationen." Math. Ann. 174, 53-78, 1967.Sloane, N. J. A. Sequences A000666/M1650 and A070166 in "整数序列在线百科全书。"

在 Wolfram|Alpha 中被引用

根图

请引用为

Weisstein, Eric W. "根图。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RootedGraph.html

主题分类