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二次积分

计算 如下形式 的积分

int(dx)/(a+bx+cx^2),
(1)

在分母中完成平方得到

int(dx)/(a+bx+cx^2)=1/cint(dx)/((x+b/(2c))^2+(a/c-(b^2)/(4c^2))).
(2)

令 u=x+b/2c。然后定义

-A^2=a/c-(b^2)/(4c^2)=1/(4c^2)(4ac-b^2)=1/(4c^2)q,
(3)

其中

q=4ac-b^2
(4)

是多项式判别式的负数。如果 q<0，则

A=1/(2c)sqrt(-q).
(5)

现在使用部分分式分解，

1/cint(du)/((u+A)(u-A))=1/cint((A_1)/(u+A)+(A_2)/(u-A))du
(6)
((A_1)/(u+A)+(A_2)/(u-A))=(A_1(u-A)+A_2(u+A))/(u^2-A^2) =((A_1+A_2)u+A(A_2-A_1))/(u^2-A^2),
(7)

因此 A_2+A_1=0=>A_2=-A_1 并且 A(A_2-A_1)=-2AA_1=1=>A_1=-1/(2A)。代入这些，

1/cint(-1/(2A)1/(u+A)+1/(2A)1/(u-A))du =1/(2Ac)[-ln(u+A)+ln(u-A)] =1/(2Ac)ln((u-A)/(u+A)) =1/(2(1/(2c))sqrt(-q)c)ln((x+b/(2c)-1/(2c)sqrt(-q))/(x+b/(2c)+1/(2c)sqrt(-q))) =1/(sqrt(-q))ln((2cx+b-sqrt(-q))/(2cx+b+sqrt(-q)))
(8)

对于 q<0。请注意，此积分也在 Gradshteyn 和 Ryzhik (2000, 方程 2.172) 中列出，其中给出的符号被翻转。

另请参阅

二次的

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 积分表、级数和乘积表，第 6 版。 圣地亚哥，加利福尼亚州：学术出版社，2000 年。

在 Wolfram|Alpha 上引用

二次积分

请这样引用

Weisstein, Eric W. “二次积分。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/QuadraticIntegral.html

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