多边形对角线交点图 -- 来自 Wolfram MathWorld

多边形对角线交点图

考虑通过在一个具有个顶点的正多边形中绘制每条对角线而获得的平面图形。如果每个交点都与一个节点相关联，并且对角线在每个交点处被分割以形成与边相关联的线段，则由此产生的图形是一个平面图，这里称为多边形对角线交点图，并表示为。

对于 , 2, ..., 顶点计数 of 为 1, 2, 3, 5, 10, 19, 42, 57, 135, 171, ... (OEIS A007569)，它们由以下有限和给出

$delta_m(n)={1 if n=0 (mod m); 0 otherwise.$

(1)

乘以的多项式，其中 , 4, 6, 12, 18, 24, 30, 42, 60, 84, 90, 120 和 210 (Poonen 和 Rubinstein 1998)。

对于 , 2, ..., 边计数 of 为 0, 1, 3, 8, 20, 42, 91, 136, 288, ... (OEIS A135565)，它们再次由多项式乘以的有限和给出。

类似地，对于 , 2, ..., 多边形被划分成的区域数量由 1, 4, 11, 24, 50, 80, 154, 220, 375, ... (OEIS A007678) 给出，其中第项由以下闭合形式给出

(2)

对于为奇数，除了第一项之外的所有项都消失了，因此区域的数量由下式给出

(3)

多边形对角线交点图的预计算属性在 Wolfram Language 中实现为GraphData["DiagonalIntersection", n].

另请参阅

完全图, 欧拉多边形分割问题, 多边形对角线, 正多边形, 正多边形对角线分割

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参考文献

Dan. "Regular

-Gon With Diagonals: Bounds on Area of Largest Cell?" Dec. 17, 2022. https://mathoverflow.net/q/436753.Griffiths, M. "Counting the Regions in a Regular Drawing of

." J. Int. Seq. 13, No. 10.8.5, 2010. https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Griffiths2/griffiths.html.Meeus, J. Wiskunde Post (Belgium) 10, 62-63, 1972.Pickover, C. A. "The Beauty of Polygon Slicing." Ch. 58 in The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. New York: Cambridge University Press, pp. 132-134 and 314, 2002.Poonen, B. and Rubinstein, M. "Number of Intersection Points Made by the Diagonals of a Regular Polygon." SIAM J. Disc. Math. 11, 135-156, 1998.Sloane, N. J. A. Sequences A007678, A007569/M0724, and A135565 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

请引用为

Weisstein, Eric W. "多边形对角线交点图。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PolygonDiagonalIntersectionGraph.html