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回文素数

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PalindromicPrimes

回文素数是既是回文数又是素数的数字。前几个（十进制）回文素数是 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, ... (OEIS A002385; Beiler 1964, p. 228)。小于给定数字的回文素数数量如上图所示。具有 n=1, 2, 3, ... 位数的回文数数量分别为 4, 1, 15, 0, 93, 0, 668, 0, 5172, 0, ... (OEIS A016115; De Geest)，而小于 10, 10^2, 10^3, ... 的回文素数总数分别为 4, 5, 20, 20, 113, 113, 781, ... (OEIS A050251)。Gupta (2009) 计算了高达 10^(21) 的回文素数数量。

下表列出了各种小基数中的回文素数。

bOEIS基数-b 回文素数
2A11769711, 101, 111, 10001, 11111, 1001001, 1101011, ...
3A1176982, 111, 212, 12121, 20102, 22122, ...
4A1176992, 3, 11, 101, 131, 323, 10001, 11311, 12121, ...
5A1177002, 3, 111, 131, 232, 313, 414, 10301, 12121, 13331, ...
6A1177012, 3, 5, 11, 101, 111, 141, 151, 515, ...
7A1177022, 3, 5, 131, 212, 313, 515, 535, 616, ...
8A0063412, 3, 5, 7, 111, 131, 141, 161, 323, ...
9A1177032, 3, 5, 7, 131, 151, 212, 232, 272, 414, ...
10A0023852, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, ...

Banks et al. (2004) 证明了几乎所有回文数（在任何基数中）都是合数，精确的表述是

P(x)∼O((N(x)lnlnlnx)/(lnlnx)),
(1)

其中 P(x) 是回文素数的数量 <=x，而 N(x) 是回文数的数量 <=x。

回文素数的倒数之和收敛于 approx 1.3240 (OEIS A118064)，这个数字有时被称为 Honaker 常数 (Rivera)，其中使用所有回文素数 <=10^(11) 计算出的值为 1.32398... (M. Keith)。

通过取 π 的十进制展开中的 n 位数字并在最后一位数字处反射而形成的前几个回文素数是 3, 313, 31415926535897932384626433833462648323979853562951413, ... (OEIS A039954; Caldwell)。这些数字对于 n=1, 2, 27, 151, 461, 2056, ... (OEIS A119351) 是素数，对于 n<=56755 没有其他素数 (E. W. Weisstein, Mar. 21, 2009)。

使得 n 和 nth 素数 p_n 都是回文数的前几个 n 由 1, 2, 3, 4, 5, 8114118, ... (OEIS A046942; Rivera) 给出，对应于 p_n 为 2, 3, 5, 7, 11, 143787341 (OEIS A046941; Rivera)。

形式为的回文素数

pp_n(x)=x^n+(x+1)^n
(2)

对于 n=2 包括 5, 181, 313, 3187813, ... (OEIS A050239; De Geest, Rivera)，它们出现在 x=1, 9, 12, 1262, ... (OEIS A050236; De Geest, Rivera) 时，对于 n<10^(20) 和 x<2×10^(10) 没有其他 (De Geest)。

截至 2014 年 11 月，已知的最大回文素数是

P=10^(474500)+999·10^(237249)+1,
(3)

它有 474501 位十进制数字 (http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=53#records)。

参见

贝尔费戈素数, 回文数, 素数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Banks, W. D.; Hart, D. N.; 和 Sakata, M. "Almost All Palindromes Are Composite." Math. Res. Lett. 11, 853-868, 2004.Beiler, A. H. 数论娱乐：数学女王的款待。 New York: Dover, 1964.Caldwell, C. "The Top Twenty: Palindrome." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=53#records.Caldwell, C. "Prime Curios!: 31415...51413 (53-digits)." http://primes.utm.edu/curios/page.php?curio_id=725.De Geest, P. "Palindromic Numbers and Other Recreational Topics." http://www.worldofnumbers.com/index.shtml.De Geest, P. "Palindromic Prime Statistics--The Table." http://www.worldofnumbers.com/palprim1.htm.De Geest, P. "Palindromic Prime Page 3." http://www.worldofnumbers.com/palprim3.htm.De Geest, P. "Palindromic Sums of Squares of Consecutive Integers." http://www.worldofnumbers.com/sumsquare.htm.Gupta, S. S. "Palindromic Primes Up to 10^(21)." 2009 年 3 月 13 日。 http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0903&L=nmbrthry&T=0&F=&S=&P=2104.Jobling, P. "Re: Record Palindrome." 2005 年 12 月 27 日。 http://groups.yahoo.com/group/primeform/message/6764.Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 014-Pal-Primes and Sum of Powers." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_014.htm.Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 051-Pi Such that Pi is Palprime & i = Palindrome." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_051.htm.Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 056-The Honaker's Constant." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_056.htm.Sloane, N. J. A. 序列 A002385/M0670, A006341, A016115, A039954, A046941, A046942, A050251, A050236, A050239, A117697, A117698, A117699, A117700, A117701, A117702, A117703, A118064, 和 A119351，出自 "整数序列在线百科全书"。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

回文素数

引用为

Eric W. Weisstein. "回文素数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PalindromicPrime.html

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