主题
Search

非平均序列

正整数序列

1<=a_1<a_2<a_3<...
(1)

如果它不包含三个成等差数列的项，即满足以下条件的项，则为非平均序列：

1/2(a_i+a_j)=a_k
(2)

对于不同的 a_i、a_j、a_k。 因此，空集和长度为一的集合显然是非平均的。

考虑整数 S_n={1,2,...,n} 上的所有可能子集。 在 S_0 上有一个非平均序列 (emptyset)，在 S_1 上有两个 (emptyset 和 {1})，在 S_2 上有四个，依此类推。 例如，S_4 的 16 个子集中有 13 个是非平均的，其中排除了 {1,2,3}、{2,3,4} 和 {1,2,3,4}。 S_0、S_1、... 上的非平均子集的数量为 1、2、4、7、13、23、40、... (OEIS A051013)。

Wróblewski (1984) 表明，对于无限非平均序列，

S(A)=sup_(all nonaveraging; sequences)sum_(k=1)^infty1/(a_k)>3.00849.
(3)

参见

A-序列, 非整除集

在 Wolfram|Alpha 中探索

WolframAlpha

更多尝试

参考文献

Abbott, H. L. "On a Conjecture of Erdős and Straus on Non-Averaging Sets of Integers." In Proceedings of the Fifth British Combinatorial Conference, University of Aberdeen, Aberdeen, July 14-18, 1975 (Ed. C. St. J. A. Nash-Williams and J. Sheehan). Winnipeg, Manitoba, Canada: Utilitas Math. Pub., pp. 1-4, 1976.Abbott, H. L. "Extremal Problems on Non-Averaging and Non-Dividing Sets." Pacific J. Math. 91, 1-12, 1980.Abbott, H. L. "On the Erdős-Straus Non-Averaging Set Problem." Acta Math. Hungar. 47, 117-119, 1986.Behrend, F. "On Sets of Integers which Contain no Three Terms in an Arithmetic Progression." Proc. Nat. Acad. Sci. USA 32, 331-332, 1946.Finch, S. R. "Erdős' Reciprocal Sum Constants." §2.20 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 163-166, 2003.Gerver, J. L. "The Sum of the Reciprocals of a Set of Integers with No Arithmetic Progression of k Terms." Proc. Amer. Math. Soc. 62, 211-214, 1977.Gerver, J. L. and Ramsey, L. "Sets of Integers with no Long Arithmetic Progressions Generated by the Greedy Algorithm." Math. Comput. 33, 1353-1360, 1979.Guy, R. K. "Nonaveraging Sets. Nondividing Sets." §C16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 131-132, 1994.Sloane, N. J. A. Sequence A051013 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Straus, E. G. "Non-Averaging Sets." Proc. Symp. Pure Math 19, 215-222, 1971.Wróblewski, J. "A Nonaveraging Set of Integers with a Large Sum of Reciprocals." Math. Comput. 43, 261-262, 1984.

在 Wolfram|Alpha 上引用

非平均序列

请引用为

Weisstein, Eric W. “非平均序列。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/NonaveragingSequence.html

主题分类