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梅塞尔公式

是 勒让德公式 关于 素数计数函数 pi(x) 的一种修正。 它从以下公式开始：

|_x_|=1+sum_(1<=i<=a)|_x/(p_i)_|-sum_(1<=i<j<=a)|_x/(p_ip_j)_|+sum_(1<=i<j<k<=a)|_x/(p_ip_jp_k)_|-...+pi(x)-a+P_2(x,a)+P_3(x,a)+...,
(1)

其中 |_x_| 是 向下取整函数，P_2(x,a) 是 整数 p_ip_j<=x 的数量，其中 a+1<=i<=j，并且 P_3(x,a) 是 整数 p_ip_jp_k<=x 的数量，其中 a+1<=i<=j<=k，以此类推。

由 P_i 满足的恒等式包括

P_2(x,a)=sum[pi(x/(p_i))-(i-1)]
(2)

对于 p_a<p_i<=sqrt(x) 和

P_3(x,a)=sum_(i>a)P_2(x/(p_i),a)
(3)
=sum_(i=a+1)^(c)sum_(j=i)^(pi(sqrt(x/p_i)))[pi(x/(p_ip_j))-(j-1)].
(4)

梅塞尔公式是

pi(x)=|_x_|-sum_(i=1)^c|_x/(p_i)_|+sum_(1<=i<j<=c)|_x/(p_ip_j)_|-...+1/2(b+c-2)(b-c+1)-sum_(c<i<=b)pi(x/(p_i)),
(5)

其中

b=pi(x^(1/2))
(6)
c=pi(x^(1/3)).
(7)

将推导再向前一步得到 莱梅公式。

另请参阅

勒让德公式，莱梅公式，素数计数函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Gram, J. "关于 M. Bertelsen 进行的关于素数的一些计算的报告。" Acta Math. 17, 301-314, 1893.Hardy, G. H. 拉马努金：关于他的人生和工作启发的十二次讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 46, 1999.Mathews, G. B. 第 10 章，见 数论。 New York: Chelsea, 1961.Meissel, E. D. F. "计算前十亿个自然数中素数的数量。" Math. Ann. 25, 251-257, 1885.Riesel, H. "梅塞尔公式。" 素数与计算机分解方法，第 2 版。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 12-13, 1994.Séroul, R. "梅塞尔公式。" §8.7.3，见 数学家编程。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 179-181, 2000.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

梅塞尔公式

请引用为

Weisstein, Eric W. “梅塞尔公式。” 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MeisselsFormula.html

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