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最小二乘拟合--指数

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LeastSquaresExp

为了拟合函数形式

y=Ae^(Bx),
(1)

对两边取对数

lny=lnA+Bx.
(2)

最佳拟合值是

a=(sum_(i=1)^(n)lny_isum_(i=1)^(n)x_i^2-sum_(i=1)^(n)x_isum_(i=1)^(n)x_ilny_i)/(nsum_(i=1)^(n)x_i^2-(sum_(i=1)^(n)x_i)^2)
(3)
b=(nsum_(i=1)^(n)x_ilny_i-sum_(i=1)^(n)x_isum_(i=1)^(n)lny_i)/(nsum_(i=1)^(n)x_i^2-(sum_(i=1)^(n)x_i)^2),
(4)

其中 B=b 且 A=exp(a)。

这种拟合给予较小的 y 值更大的权重，因此，为了平等地权衡这些点，通常最好最小化以下函数

sum_(i=1)^ny_i(lny_i-a-bx_i)^2.
(5)

应用最小二乘拟合得到

asum_(i=1)^ny_i+bsum_(i=1)^nx_iy_i=sum_(i=1)^ny_ilny_i
(6)
asum_(i=1)^nx_iy_i+bsum_(i=1)^nx_i^2y_i=sum_(i=1)^nx_iy_ilny_i
(7)
[sum_(i=1)^(n)y_i sum_(i=1)^(n)x_iy_i; sum_(i=1)^(n)x_iy_i sum_(i=1)^(n)x_i^2y_i][a; b]=[sum_(i=1)^(n)y_ilny_i; sum_(i=1)^(n)x_iy_ilny_i].
(8)

求解 a 和 b,

a=(sum_(i=1)^n(x_i^2y_i)sum_(i=1)^n(y_ilny_i)-sum_(i=1)^n(x_iy_i)sum_(i=1)^n(x_iy_ilny_i))/(sum_(i=1)^ny_isum_(i=1)^n(x_i^2y_i)-(sum_(i=1)^nx_iy_i)^2)
(9)
b=(sum_(i=1)^ny_isum_(i=1)^n(x_iy_ilny_i)-sum_(i=1)^n(x_iy_i)sum_(i=1)^n(y_ilny_i))/(sum_(i=1)^ny_isum_(i=1)^n(x_i^2y_i)-(sum_(i=1)^nx_iy_i)^2).
(10)

在上图中，短虚线曲线是由 (◇) 和 (◇) 计算得到的拟合，长虚线曲线是由 (9) 和 (10) 计算得到的拟合。

另请参阅

最小二乘拟合, 最小二乘拟合--对数, 最小二乘拟合--幂律

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请引用为

Weisstein, Eric W. "最小二乘拟合--指数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LeastSquaresFittingExponential.html

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