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六边形平方数

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令 H_n 表示第 n 个六边形数，S_m 表示第 m 个平方数，那么既是六边形数又是平方数的数满足方程 H_n=S_m，或者

n(2n-1)=m^2.
(1)

配方法和重新排列得到

(4n-1)^2-8m^2=1.
(2)

因此，定义

x=4n-1
(3)
y=2m
(4)

得到佩尔方程

x^2-2y^2=1.
(5)

前几个解是 (x,y)=(3,2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), .... 这些解给出 (n,m)=(1,1), (9/2, 6), (25, 35), (289/2, 204), ..., 给出整数解 (1, 1), (25, 35), (841, 1189), (28561, 40391), ... (OEIS A008844 和 A046176)。对应的六边形平方数是 1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, ... (OEIS A046177)。

闭式解是

m=((3+2sqrt(2))^(2k+1)-(3-2sqrt(2))^(2k+1))/(4sqrt(2))
(6)
n=1/4{1+1/2[(3-2sqrt(2))^(2k+1)+(3+2sqrt(2))^(2k+1)]},
(7)

给出第 k 个六边形平方数为

HS_k=1/(32)[-2+(17-12sqrt(2))(3-2sqrt(2))^(4k)+(17+12sqrt(2))(3+2sqrt(2))^(4k)].
(8)

m 的递推关系由下式给出

a_k=3a_(k-1)+sqrt(8a_(k-1)^2+1)
(9)

其中 a_1=1，其中 m_k=a_(2k-1) (M. Carreira, 私人通讯，9月11日，2004年)。

另请参阅

具象数, 六边形数, 平方数

使用 探索

参考文献

Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A008844, A046176, 和 A046177。

在 中被引用

六边形平方数

引用为

Weisstein, Eric W. “六边形平方数。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HexagonalSquareNumber.html

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