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头尾差分布

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HeadsMinusTails

一个均匀的硬币被抛掷偶数 2n 次。设 D=|H-T| 为获得的正反面次数之差的绝对值。那么概率分布由下式给出

P(D=2k)={(1/2)^(2n)(2n; n) for k=0; 2(1/2)^(2n)(2n; n+k) for k=1, 2, ...,
(1)

其中 P(D=2k-1)=0。D 最可能的值是 D 是 D=2，期望值是

<D_n>=(n(2n; n))/(2^(2n-1))
(2)
=(2Gamma(1/2+n))/(sqrt(pi)Gamma(n))
(3)
=(2sqrt(pi)(-1)^n)/(Gamma(n)Gamma(1/2-n))
(4)
=(-1)^(n+1)(-3/2; -(n+1)).
(5)

<D> 的生成函数由下式给出

sum<D_n>x^n=x/((1-x)^(3/2))
(6)
=1+3/2x+(15)/8x^2+(35)/(16)x^3+...
(7)

(OEIS A001803 和 A046161; Abramowitz and Stegun 1972, Prévost 1933; Hughes 1995)。这些数字也出现在一维随机游走中。

参见

伯努利分布, 硬币, 抛硬币, 一维随机游走

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第9版印刷。 New York: Dover, p. 798, 1972.Handelsman, M. B. Solution to Problem 436. "Distributing 'Heads' Minus 'Tails.' " College Math. J. 22, 444-446, 1991.Hughes, B. D. Eq. (7.282) in 随机游走与随机环境，卷 1：随机游走。 New York: Oxford University Press, p. 513, 1995.Prévost, G. 球函数表。 Paris: Gauthier-Villars, pp. 156-157, 1933.Sloane, N. J. A. Sequences A001803/M2986 和 A046161 在 "整数数列在线大全" 中。

在 中被引用

头尾差分布

引用为

Weisstein, Eric W. "头尾差分布。" 来自 -- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Heads-Minus-TailsDistribution.html

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