快乐结局问题，也称为“快乐的结局问题”，是为了确定对于 
使得在平面上处于一般位置（即，其中没有三点是共线）的最小点数 
的问题，这样 
个点的每一种可能的排列都将总是包含至少一组 
个点，这些点是一个 凸多边形 的 
条边的顶点。当两位最初研究这个问题的研究者 Ester Klein 和 George Szekeres 订婚并随后结婚时，Erdős 给这个问题起了这个名字（Hoffman 1998, p. 76）。
由于三个非共线点总是确定一个三角形，所以 
。
上面展示了 
个点的随机排列。请注意，对于上面第五和第八个图中显示的排列，不可能有凸四边形，因此 
必须大于 4。E. Klein 证明了 
，通过展示任何五个点的排列都必然属于三种情况之一（左上图；Hoffman 1998, pp. 75-76）。
上面展示了 
个点的随机排列。请注意，对于上面第五个图中显示的排列，不可能有凸五边形，因此 
必须大于 8。E. Makai 证明了 
，在证明对于八个点可以找到反例之后（右上图；Hoffman 1998, pp. 75-76）。
随着点的数量 
的增加，为了查看它们是否形成凸 
边形，需要检查的 
-子集 的数量 
也随着 
而增加，因此组合爆炸阻止了对远大于 
的情况进行轻松研究。此外，参数空间变得如此之大，以至于即使对于 
且 
个点的情况，随机搜索反例也需要极长的时间。由于这些原因，一般问题仍然是开放的。
Szekeres 和 Peters (2006) 使用 1500 CPU 时的计算机搜索证明了 
，该搜索消除了 17 个点的所有可能配置，这些配置缺少凸六边形，同时仅检查了所有配置中的一小部分。Marić (2019) 和 Scheucher (2020) 独立地验证了 
，在几个 CPU 小时内使用了可满足性 (SAT) 求解，Scheucher (2023) 后来将时间缩短到 10 CPU 分钟，Heule 和 Scheucher (2024) 缩短到 8.53 CPU 秒。
因此，
对于 
、4、5 和 6 的前几个值分别是 3、5、9、17，这恰好是 
。然而，
对于 
的值是未知的。
Erdős 和 Szekeres (1935) 表明 
总是存在，并推导出界限
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(1)
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其中 
是一个 二项式系数。对于 
，此界限后来被简化为 
，其中
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(2)
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由 Chung 和 Graham (1998) 提出，
，其中
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(3)
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由 Kleitman 和 Pachter (1998) 提出，以及 
，其中
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(4)
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由 Tóth 和 Valtr (1998) 提出。
边形。" Discr. Comput. Geom. 19, 367-371, 1998.Erdős, P. 和 Szekeres, G. "几何学中的一个组合问题。" Compositio Math. 2, 463-470, 1935.Heule, M. J. H. 和 Scheucher, M. "快乐结局：每 30 个点的集合中都有一个空六边形。" 2024 年 3 月 1 日。