主题
Search

高斯类数猜想

在他的巨著Disquisitiones Arithmeticae中，高斯猜想一个类数 h(-d) 的虚二次域，其二元二次型判别式为 -d，随着 d 趋于无穷大而趋于无穷大。 Heilbronn (1934) 最终给出了证明，Siegel (1936) 表明对于任何 epsilon>0，存在一个常数 c_epsilon>0 使得

h(-d)>c_epsilond^(1/2-epsilon)

当 d->infty 时。然而，这些结果在实际确定给定 m 的基本判别式 -d 的值，使得 h(-d)=m 时，并非有效，这个问题被称为高斯类数问题。

Goldfeld (1976) 证明了，如果存在一条“Weil 曲线”，其相关的狄利克雷 L 级数在 s=1 处至少有三阶零点，那么对于任何 epsilon>0，都存在一个可有效计算的常数 c_epsilon 使得

h(-d)>c_epsilon(lnd)^(1-epsilon).

Gross 和 Zaiger (1983) 证明了某些曲线必须满足 Goldfeld 的条件，并且 Oesterlé (1985) 简化了 Goldfeld 的证明。

参见

类数, 高斯类数问题, Heegner 数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arno, S.; Robinson, M. L.; and Wheeler, F. S. "具有小奇类数的虚二次域。" http://www.math.uiuc.edu/Algebraic-Number-Theory/0009/.Böcherer, S. "高斯类数问题。" Mitt. Math. Ges. Hamburg 11, 565-589, 1988.Gauss, C. F. 算术研究。 New Haven, CT: Yale University Press, 1966.Goldfeld, D. M. "二次域的类数以及 Birch 和 Swinnerton-Dyer 的猜想。" Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 3, 623-663, 1976.Gross, B. and Zaiger, D. "Heegner 点和 L 函数的导数。" Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 297, 85-87, 1983.Heilbronn, H. "关于虚二次域的类数。" Quart. J. Math. Oxford Ser. 25, 150-160, 1934.Oesterlé, J. "虚二次域的类数。" Astérique 121-122, 309-323, 1985.Siegel, C. L. "关于二次数域的类数。" Acta. Arith. 1, 83-86, 1936.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

高斯类数猜想

引用为

Weisstein, Eric W. “高斯类数猜想。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GausssClassNumberConjecture.html

主题分类