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费马商

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对于数字 a 和素数基数 p，费马商定义为

q_p(a)=(a^(p-1)-1)/p.
(1)

如果 pab, 那么

q_p(ab)=q_p(a)+q_p(b)
(2)
q_p(p+/-1)=∓1
(3)

(mod p), 其中模数被视为分数同余。

特殊情况 a=2 由下式给出

q_p(2)=(2^(p-1)-1)/p
(4)
=1/2sum_(k=1)^(p-1)((-1)^(k-1))/k
(5)
=1/2ln2+1/4(-1)^p[gamma_0(1/2(p+1))-gamma_0(1/2p)]
(6)
=1/2sum_(k=(p+1)/2)^(p-1)1/k
(7)
=1/2[gamma_0(p)-gamma_0(1/2(p+1))],
(8)

再次全部 (mod p)，其中模数被视为分数同余，gamma_0(z) 是 digamma 函数，最后两个等式仅适用于奇素数。

q_p(2) 对于 p 素数是一个整数，对于 p=2, 3, 5, ... 的值分别为 1, 3, 2, 5, 3, 13, 3, 17, 1, 6, ....

已知量 q_p(2)=(2^(p-1)-1)/p 仅对于两个素数（所谓的 Wieferich 素数 1093 和 3511 (Lehmer 1981, Crandall 1986)）同余于零 (mod p)。

另请参阅

Wieferich 素数

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参考文献

Crandall, R. 科学计算项目。 New York: Springer-Verlag, 1986.Dickson, L. E. 数论史，第 1 卷：可除性和素性。 New York: Dover, p. 105, 2005.Lehmer, D. H. "关于以 2 为底的费马商。" Math. Comput. 36, 289-290, 1981.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 70, 1986.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

费马商

请引用为

Weisstein, Eric W. "费马商。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FermatQuotient.html

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