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费根鲍姆函数

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考虑一个任意一维的 映射

x_(n+1)=F(x_n)
(1)

(带有隐式参数 r) 在混沌开始时。 经过适当的重定标，费根鲍姆函数

g(x)=lim_(n->infty)1/(F^((2^n))(0))F^((2^n))(xF^((2^n))(0))
(2)

获得。该函数满足

g(g(x))=-1/alphag(alphax),
(3)

其中 alpha=2.50290...。

Campanino 和 Epstein (1981)、Campanino 等人 (1982) 以及 Lanford (1982, 1984) 给出了该方程偶解析解存在性的证明，该方程有时被称为 Feigenbaum-Cvitanović 函数方程。

FeigenbaumFunction

上图说明了费根鲍姆函数 g(x) 对于 F(x) 逻辑斯蒂映射，其中 r=2,

F(x)=2x(1-x)
(4)

沿实轴（M. Trott，私人通讯，2003 年 9 月 9 日）。

Feigenbaum laser sculpture
Feigenbaum laser sculpture

上面的图像显示了 Stephen Wolfram 在 Mitchell Feigenbaum 60 岁生日之际赠送的雕塑的两个视图，该雕塑描绘了复平面中的费根鲍姆函数。该雕塑（照片由 A. Young 提供）由 M. Trott 设计，并由 Bathsheba Grossman (http://www.bathsheba.com/) 激光蚀刻到玻璃块中。底部视图显示了 g(x) 对于 x 大约在 -8 和 8 之间。

Feigenbaum function in the complex plane

上面的图片说明了复平面中的费根鲍姆函数 g(x) （M. Trott，私人通讯，2003 年 9 月 9 日）。

另请参阅

分岔, 混沌, 费根鲍姆常数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Campanino, M. and Epstein, H. "关于费根鲍姆不动点的存在性。" Commun. Math. Phys. 79, 261-302, 1981.Campanino, M.; Epstein, H.; and Ruelle, D. "关于费根鲍姆函数方程。" Topology 21, 125-129, 1982.Feigenbaum, M. J. "一类非线性变换的定量普适性。" J. Stat. Phys. 19, 25-52, 1978.Grassberger, P. and Procaccia, I. "测量奇异吸引子的奇异性。" Physica D 9, 189-208, 1983.Grossman, B. "Bathsheba Grossman--激光晶体。" http://www.bathsheba.com/crystal/.Lanford, O. E. III. "费根鲍姆猜想的计算机辅助证明。" Bull. Amer. Math. Soc. 6, 427-434, 1982.Lanford, O. E. III. "费根鲍姆不动点存在性的一个更简短的证明。" Commun. Math. Phys. 96, 521-538, 1984.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

费根鲍姆函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "费根鲍姆函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FeigenbaumFunction.html

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