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Elder定理

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Elder定理是 Stanley定理 的推广，后者指出，在 整数 n 的所有无序 划分 中，整数 k 出现的总次数等于在一个 划分 中，部分出现 k 次或更多次的场合数，其中包含 r 部分的划分，每个部分出现 k 次或更多次，对所讨论的总和贡献 r。

这个一般结果由 R. P. Stanley 于 1972 年发现，并提交给美国数学月刊的“问题与解答”栏目，但被拒绝，评论是“有点太简单，只使用了标准论证”，大概是因为编辑们没有理解问题的实际陈述和解法（Stanley 2004）。因此，k=1 的结果首次作为 Cohen (1978) 中的问题 3.75 发表，此前 Cohen 从 Stanley 那里得知了这个结果。因此，k=1 的情况有时被称为“Stanley定理”。Kirdar 和 Skyrme (1982)、Paul Elder 在 1984 年（如 Honsberger 1985, p. 8 所报告）以及 Hoare (1986) 给出了对一般情况的独立证明。

作为定理的一个例子，请注意 4 的划分是 4，3+1，2+2，2+1+1 和 1+1+1+1，其中包含 0+1+0+2+4=7 个 1，0+0+2+1+0=3 个 2，0+1+0+0+0=1 个 3 和 1+0+0+0+0=1 个 4。类似地，部分出现 1 次或更多次的情况有 1+2+1+2+1=7 次，2 次或更多次的情况有 0+0+1+1+1=3 次，3 次或更多次的情况有 0+0+0+0+1=1 次，以及 4 次或更多次的情况有 0+0+0+0+1=1 次。

一般来说，在 n 的划分中，1, 2, ..., n 出现的次数由以下三角形给出

n\k12345678
11
221
3411
47311
5124211
61984211
7301163211
84519963211

(OEIS A066633)。

另请参阅

划分, Stanley定理

使用 探索

参考文献

Cohen, D. I. A. 组合理论的基本技巧。 纽约：Wiley and Sons, 1978。Hoare, A. H. M. "关于 n 划分中块的对合。" 美国数学月刊 93, 475-476, 1986。Honsberger, R. 数学瑰宝 III。 华盛顿特区：美国数学协会，pp. 8-9, 1985。Kirdar, M. S. 和 Skyrme, T. H. R. "关于与划分和部分重复相关的恒等式。" 加拿大数学杂志 34, 194-195, 1982。Sloane, N. J. A. 序列 A066633，收录于“整数序列在线百科全书”。Stanley, R. P. 练习 1.26，摘自枚举组合学，第 1 卷。 英国剑桥：剑桥大学出版社，p. 59, 1999。Stanley, R. P. "枚举组合学第 1 卷，第二版印刷的勘误和补遗。" 修订于 2004 年 2 月 13 日。 http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/newerr.ps。

在 中被引用

Elder定理

请引用为

Weisstein, Eric W. “Elder定理。” 来自 网络资源。 https://mathworld.net.cn/EldersTheorem.html

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