差异定理

设 , , ... 为介于 0 和 1 之间的实数无限序列。那么，对于任何任意大的 ，都存在一个正整数 和两个等长的子区间，使得 （其中 , 2, ..., ）在一个子区间中的数量与在另一个子区间中的数量之差大于 (van der Corput 1935ab, van Aardenne-Ehrenfest 1945, 1949, Roth 1954)。

这个陈述可以如下改进。设 为一个大的整数，, , ..., 为 个介于 0 和 1 之间的实数序列。那么对于任何整数 和任何满足 的实数 ，设 表示满足 的 （其中 , 2, ..., ）的数量。那么存在 和 使得

(1)

其中 是一个正的常数。Schmidt (1972) 改进了这个结果，得到

(2)

这基本上是最优的。

这个结果可以进一步加强，最容易通过重新表述问题来完成。设 为一个整数，, , ..., 为正方形 , 中的 个（不必相异）点。那么

(3)

其中 是一个正的常数， 是矩形 , 中的点数 (Roth 1954)。因此，

(4)

并且最初的结果可以表述为存在 和 使得

(5)

以上正方形中显示的随机分布的点分别具有 和 9.11 的 值。

类似地，单位 -超立方体 中 个点的差异满足

(6)

(Roth 1954, 1976, 1979, 1980)。