可收缩

在 中的一个集合，如果可以通过连续形变收缩到它的一个点，比如 ，则称该集合是可收缩的。这种变换使得集合中的每个点都沿着一条路径移动到 ，且路径具有以下性质：

1. 每条路径完全在集合内部。

2. 邻近的点在“相邻”的路径上移动。

条件 (1) 意味着一个 不连通集合，即由分离部分组成的集合，不能是可收缩的。

条件 (2) 意味着圆的 周长 不是可收缩的。后者可以通过考虑圆周上两个靠近的点 和 ，它们位于点 的不同侧。连接 和 与 的路径要么彼此相反，要么长度不同。类似的论证表明，一般来说，对于所有 ，-球面（即 维球的边界）不是可收缩的。

集合中的间隙或洞可能是可收缩性的阻碍。然而，也存在带孔的可收缩集合的例子，例如“带两个房间的房子”。在这种情况下，如何构造上述类型的变换并不明显。但是，集合 可收缩性的正式定义保证了它的存在，即 与它的一个点 同伦。这意味着存在一个连续映射 ，使得 是恒等映射， 是将每个点发送到 的常值映射。因此，当 从 0 变为 1 时， 描述了从 到 的连续路径，并且满足条件 (1)。此外，由于映射 对于第二个分量也是连续的，因此从 开始的路径相对于 连续变化，正如条件 (2) 所要求的。