同伦类型

由中的集合形成的类，这些集合本质上具有相同的结构，而与大小、形状和维度无关。“本质结构”是指一个集合在通过压缩或膨胀其部分进行变换时保持不变的结构，但不进行切割或粘合。被保留的最重要的特征是内部闭合路径系统。特别是，基本群保持不变。然而，这个对象仅描述了环路，即本质上是圆线的路径，而同伦类型也指更高维度的闭合路径，这些路径对应于球面的边界。因此，同伦类型对几何对象进行了更精确的分类。至于圆形路径，无论对象位于平面上还是球面上，都没有区别，因此在两种情况下基本群是相同的。

然而，同伦类型是不同的，因为平面不包含任何球面路径。一般来说，通过验证集合中的两条闭合路径是否可以简化为集合中相同的几何对象来比较它们。表面上的圆形路径可以通过首先将其收缩到其中心，然后将中心移动到给定点，从而简化为同一表面上的任何给定点。对于固体中的球面路径也是如此。正方形和立方体中的所有闭合路径与点是同一种类型，因此立方体、正方形和点具有相同的同伦类型。

然而，在更一般的情况下，孔洞和间隙可能是上述变换的障碍。空心球体可以收缩为球面，但无法进一步缩小。立方体、正方形和点的例子表明，同伦类型可以包括不同维度的集合：因此，它的元素并非都是同胚的，而是以更一般的方式相关的。根据正式定义，如果可以找到两个连续映射和，使得映射的组合和不一定分别等于和上的恒等映射，但与它们同伦，即它们可以通过连续变形简化为它们，则两个集合和具有相同的同伦类型。